金融数据性质
单变量
定义
收益序列
金融数据实证分析通常研究收益而不是价格水平。设价格、指数或汇率序列为 S_0,S_1,\ldots,S_n ，单期对数收益定义为
X_t
=
\ln\left(\frac{S_t}{S_{t-1}}\right),
\qquad t=1,\ldots,n.
对数收益的好处是可以加总。h 期对数收益为
X_t^{(h)}
=
\ln\left(\frac{S_t}{S_{t-h}}\right)
=
\sum_{j=0}^{h-1}X_{t-j}.
因此日收益、周收益、月收益可以放在同一套记号下讨论。
数据频率
本章讨论的典型事实主要适用于日、周、月等风险管理常用频率。
日收益样本量较多，最常用于识别波动率聚集、厚尾和极端事件成簇。
收益间隔变长后，分布可能更接近正态，但样本量减少，检验能力也会下降。
极高频数据会受到买卖价差、非同步交易、价格离散等市场微观结构噪声影响，不能直接套用日收益结论。
分析目的
典型事实是金融收益数据反复表现出的经验规律，用来约束后续建模。
如果模型不能解释收益弱相关、波动率聚集、厚尾、极端事件成簇和多资产共同极端，就很难用于可靠风险管理。
典型事实
事实一：收益不是 iid，但原始收益线性相关弱
现象 X_1,\ldots,X_n 是 iid，则每期收益来自同一分布，并且不同时间点之间独立。真实金融收益通常不满足 iid，但原始收益 X_t 的线性自相关往往较弱。检验
\hat\rho(h)
=
\frac{\hat\gamma(h)}{\hat\gamma(0)}.
\hat\rho(h) 应接近 0 。m 阶自相关：
Q(m)
=
n(n+2)
\sum_{k=1}^{m}
\frac{\hat\rho_k^2}{n-k}.
含义
事实二：绝对收益和平方收益存在显著序列相关
现象
\operatorname{corr}(X_t,X_{t-h})\approx0,
\operatorname{corr}(|X_t|,|X_{t-h}|)\gt0
\operatorname{corr}(X_t^2,X_{t-h}^2)\gt0.
检验 |X_t| 或 X_t^2 画相关图，看收益幅度是否有持续性。|X_t| 或 X_t^2 做 Ljung-Box 检验，如果 p 值很小，则说明收益幅度存在显著序列相关。含义
\operatorname{var}(X_t\mid\mathcal F_{t-1})
=
\sigma_t^2.
事实三：条件期望收益接近于零
现象
E(X_t\mid\mathcal F_{t-1})\approx0.
检验 含义
X_t=\mu_t+\varepsilon_t,
\mu_t 可以很简单，重点放在残差冲击
\varepsilon_t=X_t-\mu_t
事实四：波动率随时间变化并且聚集
现象 检验 |X_t| 或 X_t^2 的自相关。含义
F_{X_{t+1}\mid\mathcal F_t}.
事实五：极端收益会成簇出现
现象 检验 含义 t 分布可以生成大值，但仍缺少真实金融数据中的高波动持续阶段。
事实六：收益分布尖峰厚尾而非正态
现象 检验：Q-Q 图 检验：偏度和峰度
b
=
\frac{
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^3
}
{
\left(
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2
\right)^{\frac{3}{2}}
}.
k
=
\frac{
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^4
}
{
\left(
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2
\right)^2
}.
\beta=0,
\qquad
\kappa=3.
3 。检验：Jarque-Bera 检验
T
=
\frac{n}{6}
\left[
b^2+\frac{1}{4}(k-3)^2
\right].
T\overset{a}{\sim}\chi^2(2).
含义 t 分布、偏态厚尾分布、广义误差分布，或极值理论方法。
补充：长间隔收益的处理会影响推断
构造 h 期对数收益为
X_t^{(h)}
=
\sum_{j=0}^{h-1}X_{t-j}.
非重叠收益
\{X_t^{(h)}:t=h,2h,\ldots,\lfloor n/h\rfloor h\}.
\lfloor x\rfloor
=
\max\{k\in\mathbb Z:k\le x\}.
\lfloor n/h\rfloor 。重叠收益 k ，其中 1\le k\lt h ，重叠样本为
\{X_t^{(h)}:t=h,h+k,\ldots,h+\lfloor(n-h)/k\rfloor k\}.
1+\lfloor(n-h)/k\rfloor.
h 期收益共享 h-k 个短期收益，因此不能当作独立样本。
多变量
定义
记号
设第 t 期 d 维收益向量为
\boldsymbol{X}_t
=
(X_{t,1},\ldots,X_{t,d})^{\top}.
样本为
\boldsymbol{X}_1,\ldots,\boldsymbol{X}_n.
多变量典型事实关注不同风险因子之间的相依结构，而不只是每个变量自身的边缘分布。
典型事实
M1：收益之间主要存在同期相关
现象
\operatorname{corr}(X_{t,i},X_{t-h,j})
检验
\hat{\boldsymbol{R}}
=
(\hat\rho_{ij})_{d\times d}.
h 下的相关性。含义
M2：绝对收益存在跨序列相关
现象 检验
\operatorname{corr}(|X_{t,i}|,|X_{t-h,j}|)
\operatorname{corr}(X_{t,i}^2,X_{t-h,j}^2).
含义
M3：相关性会随时间变化
现象 检验：滚动相关 m ，两个收益序列 X_t 与 Y_t 的滚动相关为
\hat\rho_t
=
\frac{
\sum_{i=t-m+1}^{t}(X_i-\bar X_t)(Y_i-\bar Y_t)
}
{
\sqrt{\sum_{i=t-m+1}^{t}(X_i-\bar X_t)^2}
\sqrt{\sum_{i=t-m+1}^{t}(Y_i-\bar Y_t)^2}
}.
检验：Fisher 变换与模型比较 r ，Fisher 变换为
z
=
\frac{1}{2}
\ln\left(\frac{1+r}{1-r}\right).
含义
M4：极端收益会共同发生
现象 检验 u_i,u_j ，考察共同超越概率
P(X_i\gt u_i,\ X_j\gt u_j).
P(X_j\gt u_j\mid X_i\gt u_i).
含义
多变量建模要求
边缘层面要处理厚尾、偏态和单变量波动率变化。
时间层面要处理波动率聚集和极端事件成簇。
相依层面要处理同期相关、共同高波动、动态相关和共同极端损失。
因此只匹配均值、方差和普通相关系数是不够的，后续需要时间序列模型、多元模型、Copula 和尾部依赖工具。
金融时间序列
时间序列基础
随机过程定义
时间序列
单一风险因子、收益率或损失序列可以写成
(X_t)_{t\in\mathbb Z}.
t 表示离散时间，X_t 表示时刻 t 的随机变量，整个序列定义在同一概率空间
(\Omega,\mathcal F,P).
时间序列建模不是只关心单个 X_t 的分布，而是关心不同时间点之间的联合行为。因此核心问题包括：
时间序列的描述
均值函数
\mu(t)=E(X_t),\qquad t\in\mathbb Z.
\bar X
=
\frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n}X_t.
自协方差函数
\gamma(t,s)
=
E\left[(X_t-\mu(t))(X_s-\mu(s))\right],
\qquad t,s\in\mathbb Z.
\gamma(t,s)=\gamma(s,t),
\qquad
\gamma(t,t)=\operatorname{var}(X_t).
\gamma(t,s) 越大，说明 X_t 和 X_s 的线性共同变化越强。
\hat\gamma(h)
=
\frac{1}{n}
\sum_{t=1}^{n-h}
(X_{t+h}-\bar X)(X_t-\bar X),
\qquad 0\le h\lt n.
自相关函数
\rho(h)
=
\frac{\gamma(h)}{\gamma(0)},
\qquad h\in\mathbb Z.
\gamma(0)=\operatorname{var}(X_t) ，所以 \rho(h) 描述的是相隔 h 期的线性相关强度。\rho(h) 和样本自相关图属于时间域分析 。它主要回答：过去的收益或损失能否线性解释现在的收益或损失。
\hat\rho(h)
=
\frac{\hat\gamma(h)}{\hat\gamma(0)}.
平稳性
严平稳 n 、任意时间点 t_1,\ldots,t_n 和任意整数平移 k ，都有
(X_{t_1},\ldots,X_{t_n})
\stackrel{d}{=}
(X_{t_1+k},\ldots,X_{t_n+k}),
(X_t) 是严格平稳的。所有有限维联合分布 ，因此它不仅要求均值和方差稳定，也要求更高阶分布特征稳定宽平稳
\mu(t)=\mu,\qquad t\in\mathbb Z,
\gamma(t,s)=\gamma(t+k,s+k),
\qquad t,s,k\in\mathbb Z.
\gamma(h):=\gamma(t,t-h),
\qquad h\in\mathbb Z.
h 称为滞后阶数 。
特殊随机过程
白噪声
表示没有线性序列相关的平稳过程，若 (X_t) 协方差平稳，且
\rho(h)=
\begin{cases}
1, & h=0,\\
0, & h\ne0,
\end{cases}
(X_t) 为白噪声过程。
均值为 0 、方差为 \sigma^2 的白噪声记为
WN(0,\sigma^2).
白噪声只排除了线性相关 ，不排除非线性相依。
严格白噪声
独立同分布的白噪声称为严格白噪声，均值为 0 、方差为 \sigma^2 的严格白噪声记为
SWN(0,\sigma^2).
白噪声只要求不同期不相关，严格白噪声还要求独立。
鞅差分序列
鞅差分序列是对鞅的一阶差分，若 E|X_t|\lt\infty ，X_t 对 \mathcal F_t 可测，并且
E(X_t\mid\mathcal F_{t-1})=0,
\qquad t\in\mathbb Z,
(X_t) 是相对于 (\mathcal F_t) 的鞅差分序列，由条件期望迭代律可得无条件均值也为零：
E(X_t)
=
E\{E(X_t\mid\mathcal F_{t-1})\}
=
0.
t 变化，则它也是白噪声。
鞅可以代表价格，鞅差分可以代表收益。鞅差分解释了金融收益中“均值难预测、波动可预测”的现象E(X_t^2)\lt\infty ，鞅差分在不同时间点之间不相关
\operatorname{cov}(X_t,X_s)=0,
\qquad t\ne s.
E(X_t\mid\mathcal F_{t-1})=0
\operatorname{var}(X_t\mid\mathcal F_{t-1})=\sigma_t^2
时间序列分析
ARMA 模型
设 (\varepsilon_t) 为白噪声WN(0,\sigma_\varepsilon^2) ，零均值 ARMA(p,q) 过程满足
X_t-\phi_1X_{t-1}-\cdots-\phi_pX_{t-p}
=
\varepsilon_t+\theta_1\varepsilon_{t-1}+\cdots+\theta_q\varepsilon_{t-q}.
若过程均值为 \mu ，则中心化序列 X_t-\mu 满足零均值 ARMA 结构，常写成
X_t
=
\mu_t+\varepsilon_t,
\mu_t 是给定过去信息后的条件均值，\varepsilon_t 是新的创新项
\mu_t
=
\mu+\sum_{i=1}^{p}\phi_i(X_{t-i}-\mu)
+
\sum_{j=1}^{q}\theta_j\varepsilon_{t-j}.
因果性
因果 ARMA 过程可以写成
X_t-\mu
=
\sum_{i=0}^{\infty}\psi_i\varepsilon_{t-i}.
\sum_{i=0}^{\infty}|\psi_i|\lt\infty.
若定义自回归多项式
\phi(z)=1-\phi_1z-\cdots-\phi_pz^p,
\phi(z) 在单位圆内没有根
此时，自相关系数为
\gamma(h)
=
\sigma_\varepsilon^2
\sum_{i=0}^{\infty}\psi_i\psi_{i+|h|}.
\operatorname{var}(X_t)
=
\sigma_\varepsilon^2
\sum_{i=0}^{\infty}\psi_i^2.
\rho(h)
=
\frac{\sum_{i=0}^{\infty}\psi_i\psi_{i+|h|}}
{\sum_{i=0}^{\infty}\psi_i^2}.
\psi_i 的衰减方式决定
可逆性
可逆性要求移动平均部分不是把不同创新序列映射成同一个观测序列。直观上，它保证
\varepsilon_t
X_s 表示。
对 ARMA(1,1) ，若
|\theta_1|\lt 1,
(\infty) 表示
X_t
=
\varepsilon_t
+
(\phi_1+\theta_1)
\sum_{i=1}^{\infty}(-\theta_1)^{i-1}X_{t-i}.
对一般 ARMA(p,q) ，通常要求移动平均多项式在单位圆内没有根。
ARIMA模型
ARMA用于描述平稳序列，对于非平稳序列需要进行差分。差分算子定义为
\nabla Y_t=Y_t-Y_{t-1}.
\nabla^dY_t 。
若
X_t=\nabla^dY_t
(p,q) 过程，则称 (Y_t) 为 ARIMA(p,d,q) 过程。
d=0 时，ARIMA 退化为 ARMA；d\gt0 时，原序列 Y_t 通常非平稳，但差分后的 X_t 可以平稳。
模型识别
样本自相关检验 (X_t) 是严格白噪声，则对固定 h 有
\sqrt n
\begin{pmatrix}
\hat\rho(1)\\
\vdots\\
\hat\rho(h)
\end{pmatrix}
\overset d\longrightarrow
N_h(\boldsymbol{0},\boldsymbol{I}_h).
\left(
-\frac{1.96}{\sqrt n},
\frac{1.96}{\sqrt n}
\right)
混成检验
Q_{\mathrm{BP}}
=
n\sum_{j=1}^{h}\hat\rho(j)^2.
Q_{\mathrm{LB}}
=
n(n+2)
\sum_{j=1}^{h}
\frac{\hat\rho(j)^2}{n-j}.
\chi^2(h).
建模过程
时间序列建模通常按“图形检查、阶数识别、残差诊断”的顺序推进
初步分析包括
传统识别规则是
现代做法通常直接拟合多个候选模型，再用 AIC、BIC 和残差诊断共同选择。
金融收益建模还需要检查波动代理量
时间序列预测
基于平方误差的最优预测是条件期望 。
给定截至 t 的信息 \mathcal F_t ，预测 X_{t+h} 的常用目标是
P_tX_{t+h}
=
E(X_{t+h}\mid\mathcal F_t).
条件期望在所有 \mathcal F_t 可测预测量中最小化均方预测误差：
E\left[(X_{t+h}-P_tX_{t+h})^2\right].
这也是 Box-Jenkins 方法中用 ARMA/ARIMA 做预测的理论基础。
ARMA递推预测
预测原理
\begin{aligned}
&E(X_s\mid\mathcal F_t)=X_s,\qquad s\le t.
\\
&E(\varepsilon_s\mid\mathcal F_t)=\varepsilon_s,\qquad s\le t.
\end{aligned}
E(\varepsilon_{t+h}\mid\mathcal F_t)=0,
\qquad h\ge1.
E(X_{t+h}\mid\mathcal F_t)
对 ARMA(1,1) ：
X_t
=
\mu+\phi_1(X_{t-1}-\mu)+\varepsilon_t+\theta_1\varepsilon_{t-1}.
E(X_{t+1}\mid\mathcal F_t)
=
\mu+\phi_1(X_t-\mu)+\theta_1\varepsilon_t.
E(X_{t+2}\mid\mathcal F_t)
=
\mu+\phi_1\left(E(X_{t+1}\mid\mathcal F_t)-\mu\right).
h 步预测为
E(X_{t+h}\mid\mathcal F_t)
=
\mu+\phi_1^h(X_t-\mu)
+
\phi_1^{h-1}\theta_1\varepsilon_t.
|\phi_1|\lt1 ，则当 h\to\infty 时预测收敛到无条件均值 \mu 。
创新项的估计\varepsilon_t
\hat\varepsilon_t
=
X_t-\hat\mu_t
ARMA指数平滑预测
对数据 Y_{t-n+1},\ldots,Y_t ，指数加权预测可写为
E(Y_{t+1}\mid\mathcal F_t)
=
\sum_{i=0}^{n-1}
\lambda(1-\lambda)^iY_{t-i},
\qquad 0\lt\lambda\lt1.
指数平滑也可写成递推形式：
E(Y_{t+1}\mid\mathcal F_t)
=
\lambda Y_t+(1-\lambda)E(Y_{t}\mid\mathcal F_{t-1})
\lambda 越大，预测越重视最新观测；\lambda 越小，预测越平滑。
指数平滑对收益均值未必合适，但对波动率预测很常用 。
条件异方差模型
ARCH
金融收益特征
日度收益本身的 ACF 可能接近零，说明收益方向难以线性预测。波动率聚集 。
ARCH/GARCH 的目标就是建模
\operatorname{var}(\varepsilon_t\mid\mathcal F_{t-1})
ARCH模型定义
ARCH把当前波动率写成过去平方冲击的函数，令 (Z_t) 为严格白噪声SWN(0,1) ，ARCH(p) 过程满足
\begin{aligned}
&\sigma_t^2
=
\alpha_0+\sum_{i=1}^{p}\alpha_i\varepsilon_{t-i}^2
\\
&\varepsilon_t=\sigma_tZ_t
\end{aligned}
\alpha_0\gt0,\alpha_i\ge0 ，非负约束保证条件方差不为负。
过去的 \varepsilon_{t-i}^2 越大，当前 \sigma_t^2 越大，这直接产生波动率聚集。
ARCH模型性质
可料性 \sigma_t^2 只依赖 \varepsilon_{t-1}^2,\ldots,\varepsilon_{t-p}^2 ，所以 \sigma_t 对 \mathcal F_{t-1} 可测t-1 ，条件波动率 \sigma_t 已由历史信息决定鞅差分 Z_t 独立于过去信息且 E(Z_t)=0
E(\varepsilon_t\mid\mathcal F_{t-1})
=
E(\sigma_tZ_t\mid\mathcal F_{t-1})
=
\sigma_tE(Z_t)
=
0.
\operatorname{var}(\varepsilon_t\mid\mathcal F_{t-1})
=
E(\sigma_t^2Z_t^2\mid\mathcal F_{t-1})
=
\sigma_t^2.
GARCH
GARCH模型定义
GARCH 在 ARCH 的基础上加入过去条件方差，GARCH(p,q) 过程满足
\begin{aligned}
&\sigma_t^2
=
\alpha_0
+
\sum_{i=1}^{p}\alpha_i\varepsilon_{t-i}^2
+
\sum_{j=1}^{q}\beta_j\sigma_{t-j}^2
\\
&\varepsilon_t=\sigma_tZ_t
\end{aligned}
\alpha_0\gt0,\alpha_i\ge0,\beta_j\ge0
GARCH(1,1) 是最常用的低阶模型，其条件方差递推为
\sigma_t^2
=
\alpha_0+\alpha_1\varepsilon_{t-1}^2+\beta_1\sigma_{t-1}^2.
\alpha_1 衡量上一期冲击平方对当前波动率的直接影响；\beta_1 衡量上一期条件方差的持续影响；\alpha_1+\beta_1 衡量波动率持续性。
对 GARCH(1,1) ，四阶矩存在需要满足
E\left[(\alpha_1Z_t^2+\beta_1)^2\right]\lt1.
Z_t 的分布不是极端厚尾，随机变化的 \sigma_t 也会使 \varepsilon_t=\sigma_tZ_t 的尾部更厚。
与 ARCH 相比，GARCH 用过去的 \sigma_{t-j}^2 保留波动率状态，因此能用较少参数刻画长时间的波动持续性。
协方差平稳判定
对 GARCH(1,1) ，若
\alpha_1+\beta_1\lt1,
\operatorname{var}(\varepsilon_t)
=
\frac{\alpha_0}{1-\alpha_1-\beta_1}.
对一般 GARCH(p,q) ，常见充分条件是
\sum_{i=1}^{p}\alpha_i+\sum_{j=1}^{q}\beta_j\lt1.
如果系数和接近 1 ，说明波动率冲击衰减很慢。
GARCH变体
IGARCH
\sum_{i=1}^{p}\alpha_i+\sum_{j=1}^{q}\beta_j=1,
1 ，通常不能得到有限无条件方差，因此不属于协方差平稳过程。杠杆 GARCH
\sigma_t^2
=
\alpha_0
+
\alpha_1(\varepsilon_{t-1}+\delta |\varepsilon_{t-1}|)^2
+
\beta_1\sigma_{t-1}^2.
\delta\lt0 ，则负冲击对应的系数 (1-\delta)^2 更大，坏消息对波动率的影响更强TGARCH
\sigma_t^2
=
\alpha_0
+
\tilde\alpha_1\varepsilon_{t-1}^2
+
\tilde\delta\,
\mathbf 1_{\{\varepsilon_{t-1}\lt0\}}\varepsilon_{t-1}^2
+
\beta_1\sigma_{t-1}^2.
\varepsilon_{t-1}\ge0 时，冲击平方的系数为 \tilde\alpha_1 ；当 \varepsilon_{t-1}\lt0 时，冲击平方的系数变为 \tilde\alpha_1+\tilde\delta 。\tilde\delta\gt0 ，则负冲击会额外提高下一期波动率。
ARMA-GARCH
ARMA-GARCH 模型
使用 ARMA 描述条件均值，用 GARCH 描述条件方差。ARMA(p_1,q_1) -GARCH(p_2,q_2) 可写为
\begin{aligned}
&X_t=\mu_t+\sigma_tZ_t
\\
&\mu_t
=
\mu
+
\sum_{i=1}^{p_1}\phi_i(X_{t-i}-\mu)
+
\sum_{j=1}^{q_1}\theta_j(X_{t-j}-\mu_{t-j})
\\
&\sigma_t^2
=
\alpha_0
+
\sum_{i=1}^{p_2}\alpha_i\varepsilon_{t-i}^2
+
\sum_{j=1}^{q_2}\beta_j\sigma_{t-j}^2
\end{aligned}
因为 \varepsilon_{t-j}=X_{t-j}-\mu_{t-j} ，所以上式就是用过去残差平方驱动条件方差。
模型预测
可逆性保证条件均值可由过去观测计算\mu_t 对 \mathcal F_{t-1} 可测。\sigma_t^2 只依赖过去误差和过去波动率，所以 \sigma_t^2 也对 \mathcal F_{t-1} 可测。
\mu_t 和 \sigma_t^2 分别就是条件均值和条件方差。条件均值为
E(X_t\mid\mathcal F_{t-1})
=
\mu_t.
\operatorname{var}(X_t\mid\mathcal F_{t-1})
=
\sigma_t^2.
\mu_t ；预测下一期风险大小 \sigma_t 。
最大似然估计
GARCH 拟合通常通过条件密度构造似然，给定
X_t=\mu_t+\sigma_tZ_t,
Z_t 的密度为 f_Z ，则条件密度为
f_{X_t\mid\mathcal F_{t-1}}(x_t\mid\mathcal F_{t-1})
=
\frac{1}{\sigma_t}
f_Z\left(\frac{x_t-\mu_t}{\sigma_t}\right).
其中 \mu_t 和 \sigma_t 都由过去信息和参数递推得到，联合密度可以分解为
f_{X_0,\ldots,X_n}(x_0,\ldots,x_n)
=
f_{X_0}(x_0)
\prod_{t=1}^{n}
f_{X_t\mid X_{t-1},\ldots,X_0}
(x_t\mid x_{t-1},\ldots,x_0).
f_{X_0} 通常没有简单闭式表达，实践中常固定初值并使用条件似然。对一般 ARMA-GARCH，条件似然可写为
L(\boldsymbol{\theta};X)
=
\prod_{t=1}^{n}
\frac{1}{\sigma_t}
f_Z\left(\frac{X_t-\mu_t}{\sigma_t}\right).
\sigma_0^2 、早期残差或早期观测通常用样本方差、零或递推近似处理。
定义第 t 期对数似然贡献为 l_t(\boldsymbol{\theta}) ，则
\ln L(\boldsymbol{\theta};X)
=
\sum_{t=1}^{n}l_t(\boldsymbol{\theta}).
\hat{\boldsymbol{\theta}}
=
\arg\max_{\boldsymbol{\theta}}\ln L(\boldsymbol{\theta};X).
\frac{\partial}{\partial\boldsymbol{\theta}}
\ln L(\boldsymbol{\theta};X)
=
\sum_{t=1}^{n}
\frac{\partial l_t(\boldsymbol{\theta})}
{\partial\boldsymbol{\theta}}
=
\boldsymbol{0}.
创新分布的选择会影响似然和尾部拟合，f_Z 常见选择包括t 分布；t 创新往往比高斯创新更合理。
准最大似然估计QML
若动态形式和创新分布都正确，例如高斯 GARCH 模型确实为真，则
\sqrt n
(\hat{\boldsymbol{\theta}}_n-\boldsymbol{\theta}_0)
\overset d\longrightarrow
N\left(
\boldsymbol{0},
\boldsymbol{I}(\boldsymbol{\theta}_0)^{-1}
\right).
\boldsymbol{I}(\boldsymbol{\theta}_0) 是 Fisher 信息矩阵。
但是创新分布可能设错，若动态方程仍正确，可以改用QML估计，渐近协方差变成夹心形式
\sqrt n
(\hat{\boldsymbol{\theta}}_n-\boldsymbol{\theta}_0)
\overset d\longrightarrow
N\left(
\boldsymbol{0},
\boldsymbol{J}^{-1}
\boldsymbol{I}
\boldsymbol{J}^{-1}
\right).
\boldsymbol{I}(\boldsymbol{\theta})
=
E\left[
\frac{\partial l_t(\boldsymbol{\theta})}{\partial\boldsymbol{\theta}}
\frac{\partial l_t(\boldsymbol{\theta})}{\partial\boldsymbol{\theta}^{\top}}
\right],\qquad\boldsymbol{J}(\boldsymbol{\theta})
=
-E\left[
\frac{\partial^2l_t(\boldsymbol{\theta})}
{\partial\boldsymbol{\theta}\partial\boldsymbol{\theta}^{\top}}
\right].
残差诊断与两阶段建模
对一般 ARMA-GARCH 模型X_t-\mu_t=\varepsilon_t=\sigma_tZ_t ，标准化残差为
\hat Z_t
=
\frac{\hat\varepsilon_t}{\hat\sigma_t}.
标准化残差应接近严格白噪声\hat Z_t 不应再有显著自相关，同时 |\hat Z_t| 或 \hat Z_t^2 也不应再有显著自相关。\hat Z_t 画 ACF 并做 Ljung-Box 检验；对 |\hat Z_t| 或 \hat Z_t^2 画 ACF 并做 Ljung-Box 检验；用 Q-Q 图检查创新分布是否合理。
两阶段建模\hat\mu_t 、\hat\sigma_t 和 \hat Z_t ，称为预白化。\hat Z_t 的边缘分布建模，可以选用厚尾、偏态或极值模型。
条件 VaR 与 ES
条件 VaR q_\alpha(Z) 为 Z 的 \alpha 分位数，则
\operatorname{VaR}_{\alpha}^{t}
=
\mu_{t+1}
+
\sigma_{t+1}q_{\alpha}(Z).
\widehat{\operatorname{VaR}}_{\alpha}^{t}
=
\hat\mu_{t+1}
+
\hat\sigma_{t+1}\hat q_{\alpha}(Z).
条件 ES \operatorname{ES}_{\alpha}(Z) ，则
\operatorname{ES}_{\alpha}^{t}
=
\mu_{t+1}
+
\sigma_{t+1}\operatorname{ES}_{\alpha}(Z).
\widehat{\operatorname{ES}}_{\alpha}^{t}
=
\hat\mu_{t+1}
+
\hat\sigma_{t+1}
\widehat{\operatorname{ES}}_{\alpha}(Z).
因此时间序列模型对 VaR 和 ES 的作用是把风险度量变成随市场状态变化的条件风险，而不是固定的无条件分位数。
若创新尾部估计过轻，即使 GARCH 波动率预测正确，VaR 和 ES 也会低估极端损失
波动率预测
定义
波动率预测本质上是条件方差预测，设底层过程为
X_t=\mu_t+\sigma_tZ_t,
\mu_t 与 \sigma_t 对 \mathcal F_{t-1} 可测，Z_t 均值为 0 、方差为 1 ，并独立于过去信息。
对未来 h 期，波动率预测关注
E(\sigma_{t+h}^2\mid\mathcal F_t).
E(\sigma_{t+h}^2\mid\mathcal F_t)
=
E(\varepsilon_{t+h}^2\mid\mathcal F_t),
\qquad
\varepsilon_{t+h}=X_{t+h}-\mu_{t+h},
GARCH(1,1)
一步预测 (1,1) ，有
\sigma_{t+1}^2
=
\alpha_0+\alpha_1\varepsilon_t^2+\beta_1\sigma_t^2.
t 已知，所以
E(\varepsilon_{t+1}^2\mid\mathcal F_t)
=
\sigma_{t+1}^2.
\hat\sigma_{t+1}^2
=
\hat\alpha_0+\hat\alpha_1\hat\varepsilon_t^2
+
\hat\beta_1\hat\sigma_t^2.
\hat\varepsilon_t=X_t ，这时公式退化为零均值 GARCH 的写法。多步预测
g_h
=
E(\varepsilon_{t+h}^2\mid\mathcal F_t).
h\gt1 ，递推为
g_h
=
\alpha_0+(\alpha_1+\beta_1)g_{h-1}.
E(\varepsilon_{t+h}^2\mid\mathcal F_t)
=
\alpha_0\sum_{i=0}^{h-1}(\alpha_1+\beta_1)^i
+
(\alpha_1+\beta_1)^{h-1}
(\alpha_1\varepsilon_t^2+\beta_1\sigma_t^2).
\alpha_1+\beta_1\lt1 ，则当 h\to\infty 时，
E(\varepsilon_{t+h}^2\mid\mathcal F_t)
\to
\frac{\alpha_0}{1-\alpha_1-\beta_1}.
ARMA-GARCH
ARMA 部分给出
E(X_{t+h}\mid\mathcal F_t).
GARCH 部分给出
\operatorname{var}(X_{t+h}\mid\mathcal F_t).
因此风险预测不是只预测收益水平，而是同时预测未来分布的位置和尺度。
EWMA
是一种非参数波动率递推方法，对平方偏离做指数平滑：
E((X_{t+1}-\mu_{t+1})^2\mid\mathcal F_t)
=
\alpha(X_t-\mu_t)^2
+
(1-\alpha)E((X_t-\mu_t)^2\mid\mathcal F_{t-1})
用估计均值和估计波动率替代不可观测量，得到
\hat\sigma_{t+1}^2
=
\alpha(X_t-\hat\mu_t)^2
+
(1-\alpha)\hat\sigma_t^2.
EWMA 不需要完整设定 GARCH 参数结构，但本质上仍是在用近期平方偏离递推预测未来方差。
极值理论
最大值方法
从样本最大值到GEV
最大值方法先把风险问题转化为右尾最大损失 的问题。
设 X_1,X_2,\ldots 表示一列损失变量，数值越大表示损失越严重，前 n 个观测中的最大损失 为：
M_n=\max(X_1,\ldots,X_n)
一段时期中最严重的损失 。
最小值问题可以通过取负号并入最大值框架 。
\min(X_1,\ldots,X_n)
=
-\max(-X_1,\ldots,-X_n)
-X_i 的右尾最大值问题。
在独立同分布假设下，最大值分布由原分布的右尾决定 。
若 X_1,X_2,\ldots 独立同分布，公共分布函数为 F ，则：
P(M_n\le x)
=
P(X_1\le x,\ldots,X_n\le x)
=
F(x)^n
这个式子说明，最大值不超过 x 等价于所有观测都不超过 x 。
当 n 增大时，M_n 会向分布右尾移动，所以最大值分布主要由尾部决定。
因为 M_n 本身会随样本量移动，所以必须标准化 。
若分布有有限右端点，M_n 会逼近右端点；若分布右端点为无穷，M_n 可能趋向无穷。
为了得到稳定极限 ，需要寻找 c_n\gt 0 和 d_n ，研究
\frac{M_n-d_n}{c_n}
d_n 负责平移位置，c_n 负责调整尺度。
这一步对应中心极限定理中对和 S_n 做标准化的思想。
最大值理论的核心结论是：非退化极限只能是 GEV
若存在 c_n\gt 0,d_n ，使得
P\left(\frac{M_n-d_n}{c_n}\le z\right)
=
F^n(c_nz+d_n)
\to H(z),
H 非退化，则 H 必须属于广义极值分布族。
类比地，中心极限定理说明“和”的标准化极限常为正态分布；极值理论说明“最大值”的标准化极限为 GEV。
GEV的参数
标准 GEV 为
H_\xi(z)=
\begin{cases}
e^{-\left(1+\xi z\right)^{-\frac{1}{\xi}}},& \xi\ne0,\\[2mm]
e^{-e^{-z}},& \xi=0,
\end{cases}
\qquad 1+\xi z\gt 0.
H_\xi(z) 表示标准化后的最大损失不超过z 的概率，在原始尺度上等价于最大损失不超过x=\mu+\sigma z 。此外有三参数形式
H_{\xi,\mu,\sigma}(x)
=
H_\xi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right),
\qquad \mu\in\mathbb R,\ \sigma\gt 0.
H_{\xi,\mu,\sigma}(x) 表示最大损失小于x 的概率
\mu 是位置参数，对应d_n ，随分块大小n 改变，控制最大值分布的水平。\sigma 是尺度参数，对应c_n ，随分块大小n 改变控制最大值分布的分散程度。\xi 是形状参数 ，与块大小无关，控制尾部类型，是极值分析中最关键的参数 n 为固定值，因此不在公式中单独列出因此H(x) 可能是二者之一，需要根据情形区分，后文约定
\begin{aligned}
&H_\xi(z)=H_{\xi,\mu,\sigma}(x)
\\
&x=\mu+z\sigma
\end{aligned}
H(z)=H_\xi(z) 。如果出现原始损失水平x ，则默认先通过z=\frac{x-\mu}{\sigma} 转成标准化尺度。
形状参数与最大吸引域
形状参数
分布 F 的右端点定义为：
x_F=\sup\{x\in\mathbb R:F(x)\lt 1\}.
x_F=\infty ，说明分布理论上可以取任意大的值。x_F\lt \infty ，说明分布存在有限上界。
当 \xi\gt 0 时，GEV是 Fréchet 型
当 \xi=0 时，GEV是 Gumbel 型
当 \xi\lt 0 时，GEV是 Weibull 型 有限右端点 。
最大吸引域
最大值分布标准化以后 ，会收敛到哪一种极值分布
若存在 c_n\gt 0,d_n ，使得：
F^n(c_nz+d_n)\to H(z),
F\in\operatorname{MDA}(H).
H 最终只会是Fréchet吸引域、Gumbel吸引域、Weibull吸引域的三类之一
三种吸引域的特征
Fréchet: \xi\gt 0 ，尾函数满足正则变化
\bar F(x)=1-F(x)
\bar F 满足
\lim_{x\to\infty}\frac{\bar{F}(tx)}{\bar{F}(x)}=t^{-\frac{1}{\xi}},\qquad t\gt 0
\bar F(x)=x^{-\frac{1}{\xi}}L(x).
Fréchet吸引域的典型判别 ，其中 L 是慢变函数 ，满足
\lim_{x\to\infty}\frac{L(tx)}{L(x)}=1,\qquad t\gt 0
幂律 x^{-\frac{1}{\xi}} 衰减，\xi 越大，\frac{1}{\xi} 越小，尾部衰减越慢，极端损失越危险Weibull: \xi\lt 0 ，逼近端点时满足正则变化
\bar F(x)
=
(x_F-x)^{-\frac{1}{\xi}}L\left(\frac{1}{x_F-x}\right),
\qquad x\uparrow x_F,\ \xi\lt 0
t=\frac{1}{x_F-x} ，得到Weibull吸引域的典型判别
\bar F\left(x_F-\frac{1}{t}\right)=t^{\frac{1}{\xi}}L(t),
\qquad t\to\infty,\ \xi\lt 0.
\frac{1}{\xi}\lt 0 ，所以当 t\to\infty 时，右端点附近的剩余尾部概率趋于 0。Gumbel: 最大吸引域是非幂律重尾、非有限端点的中间情形
GEV的估计与运用
块最大值方法
实际数据中通常用块最大值方法 把 GEV 理论落到样本上。N=mn ，将样本分为 m 个长度为 n 的块，第 j 个块最大值为
M_{n,j}
=
\max\{X_{(j-1)n+1},\ldots,X_{jn}\},
\qquad j=1,\ldots,m.
X_1,\ldots,X_N 变成块最大值样本 M_{n,1},\ldots,M_{n,m} ，当 n 足够大时，块最大值近似服从 GEV
P(M_{n,j}\le x)\approx H\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right).
块大小选择决定偏差与方差的平衡 。m 少，参数估计方差较大相依时间序列 (X_i) 严格平稳但不独立，在适当条件下可能有
\lim_{n\rightarrow \infty} P\left(\frac{M_n-d_n}{c_n}\le z\right)\to H(z)^\theta,
\qquad \theta\in(0,1].
\theta 是极值指数 。\theta=1 表示极端事件近似独立；\theta\lt 1 表示极端事件聚集，有效独立样本量降低用这些块最大值拟合 GEV，得到参数估计 \hat\xi,\hat\mu,\hat\sigma ，从而计算极端分位数、回报水平和回报期等
极大似然估计
设 h_{\xi,\mu,\sigma} 为 GEV 密度，块最大值样本的对数似然为
\ell(\xi,\mu,\sigma)
=
\sum_{j=1}^{m}\ln h_{\xi,\mu,\sigma}(M_{n,j}).
估计时选择使 \ell(\xi,\mu,\sigma) 最大的参数，同时必须满足支持集约束
1+\xi\frac{M_{n,j}-\mu}{\sigma}\gt 0,
\qquad j=1,\ldots,m.
从而得到标准化尺度上的块最大值分布
\hat H(z)=H_{\hat\xi}(z),
\qquad z=\frac{x-\hat\mu}{\hat\sigma}
P(M_n\le x)\approx \hat H\left(\frac{x-\hat\mu}{\hat\sigma}\right)
回报水平x_k
如果平均每 (k) 个块才超过一次，那么这个损失水平是多少。例如x_{10} 表示当期损失超过这个值的概率为10\% H 是标准化后的块最大值分布，先定义标准化回报水平z_k ：
H(z_k)=1-\frac{1}{k}.
x_k=\mu+\sigma z_k.
GEV的回报水平 \xi\ne0 时，标准化回报水平为
z_k
=
\frac{\left[-\ln\left(1-\frac{1}{k}\right)\right]^{-\xi}-1}{\xi}.
\xi=0 时
z_k
=
-\ln\left[-\ln\left(1-\frac{1}{k}\right)\right].
回报期 k_x
表示平均多少个块会出现一次超过 x 的最大损失。例如k_{10} 表示平均需要这个值的块数出现大于10 的损失
给定原始损失阈值 x ，先标准化为
z=\frac{x-\mu}{\sigma}.
\bar H(z)=1-H(z)
k_{x}
=
\frac{1}{\bar H(z)}
=
\frac{1}{1-H(z)}.
阈值超越方法
从阈值超越到GPD
阈值超越
阈值超越方法解决的是块最大值方法的信息浪费 问题。u ，保留所有满足 X_i\gt u 的观测。
阈值超越方法的研究对象是超额损失 X_1,\ldots,X_N ，给定高阈值 u ，超过阈值的样本个数为
N_u=\sum_{i=1}^{N}\mathbf 1_{\{X_i\gt u\}}
Y_i=X_i-u,\qquad X_i\gt u.
X-u\mid X\gt u
阈值超额分布 定义为
F_u(x)
=
P(X-u\le x\mid X\gt u)
=
\frac{F(u+x)-F(u)}{1-F(u)},
\qquad 0\le x\lt x_F-u.
u 的条件下，超额量 X-u 不超过 x 的概率。阈值越高，F_u 越能代表真正尾部的局部形态。
广义帕累托分布
广义帕累托分布GPD的分布函数为
G_{\xi,\beta}(y)
=
\begin{cases}
1-\left(1+\xi\frac{y}{\beta}\right)^{-\frac{1}{\xi}},
&\xi\ne0,\\[2mm]
1-e^{-\frac{y}{\beta}},
&\xi=0,
\end{cases}
\qquad \beta\gt 0.
y\ge0,\qquad 1+\xi\frac{y}{\beta}\gt 0.
\xi 是形状参数，与 GEV 中的形状参数一致，用来控制尾部类型。\beta 是尺度参数，控制超额损失的大小尺度。
GPD的尾部类型 与 GEV 对应。\xi\gt 0 时，GPD 为重尾型，尾部与 Pareto 型幂律衰减有关。\xi=0 时，GPD 退化为指数分布：
G_{0,\beta}(y)=1-e^{-\frac{y}{\beta}}.
\xi\lt 0 时，GPD 具有有限右端点。GPD的均值 由形状参数决定\xi\lt 1 ，则 GPD 均值存在
E[Y]=\frac{\beta}{1-\xi}
\xi\ge1 ，均值不存在，表明此时尾部风险度量会非常不稳定
阈值超越与GPD
Pickands--Balkema--de Haan 定理 : 对广泛的分布类，当阈值 u 趋近右端点 x_F 时，超额分布可由 GPD 近似：
\lim_{u\uparrow x_F}
\sup_{0\le y\lt x_F-u}
\left|F_u(y)-G_{\xi,\beta(u)}(y)\right|
=
0
F_u(y)\approx G_{\xi,\beta}(y)
GPD的阈值稳定性 u 以上的超额服从 GPD，那么提高阈值到 v\gt u 后，超额分布仍为 GPD
F_v(y)=G_{\xi,\beta+\xi(v-u)}(y)
u 提升到v ，形状参数不变，距离参数提升\xi(v-u)
阈值选取与参数估计
阈值选取
阈值 u 的选择是阈值超越方法的核心
平均超额函数
e(u)=E[X-u\mid X\gt u].
u 以上的超额分布近似为 G_{\xi,\beta} ，并且 \xi\lt 1 ，则当前阈值处的平均超额为
e(u)=\frac{\beta}{1-\xi}.
u 提高到 v\gt u ，由 GPD 的阈值稳定性有
\beta(v)=\beta+\xi(v-u),
e(v)=\frac{\beta+\xi(v-u)}{1-\xi}.
近似为阈值的线性函数 样本平均超额函数
e_N(u)
=
\frac{
\sum_{i=1}^{N}(X_i-u)\mathbf 1_{\{X_i\gt u\}}
}{
\sum_{i=1}^{N}\mathbf 1_{\{X_i\gt u\}}
}.
画出 e_N(u) 随 u 的变化，可以辅助选择阈值。
参数估计
给定阈值 u 后，只对超额样本拟合 GPD
\{X_i-u:X_i\gt u\}.
X_i-u\mid X_i\gt u\approx G_{\xi,\beta}.
\xi 和 \beta 。
极大似然估计\xi\ne0 时，超额样本的对数似然为
\ell(\xi,\beta)
=
-N_u\ln\beta
-
\left(1+\frac{1}{\xi}\right)
\sum_{i:X_i\gt u}
\ln\left(1+\xi\frac{X_i-u}{\beta}\right).
1+\xi\frac{X_i-u}{\beta}\gt 0,
\qquad X_i\gt u.
\xi=0 时，对应指数分布，对数似然为
\ell(0,\beta)
=
-N_u\ln\beta
-
\frac{1}{\beta}
\sum_{i:X_i\gt u}(X_i-u).
\hat\xi,\hat\beta 。
GPD的运用
尾部概率
GPD 可用于从阈值 u 向更高损失水平外推尾部概率x\gt u ，有
\bar F(x)
=
P(X\gt x)
=
P(X\gt u)P(X\gt x|X\gt u)
=
\bar F(u)
\left(1+\xi\frac{x-u}{\beta}\right)^{-\frac{1}{\xi}}.
根据样本估计
\widehat{\bar F}(u)=\frac{N_u}{N}.
Smith型尾部估计器
\widehat{\bar F}(x)
=
\frac{N_u}{N}
\left(1+\hat\xi\frac{x-u}{\hat\beta}\right)^{-\frac{1}{\hat\xi}},
\qquad x\gt u.
VaR
令 q_\alpha 为置信水平为 \alpha 的 VaR，则
P(X\gt q_\alpha)=1-\alpha.
\xi\ne0 时，
q_\alpha
=
u+\frac{\beta}{\xi}
\left[
\left(\frac{\bar F(u)}{1-\alpha}\right)^\xi
-1
\right].
\xi=0 时，
q_\alpha
=
u+\beta\ln\left(\frac{\bar F(u)}{1-\alpha}\right).
从样本估计\bar F(u),\xi,\beta 都替换为估计值，对于 \xi\ne0
\hat q_\alpha
=
u+\frac{\hat\beta}{\hat\xi}
\left[
\left(\frac{N_u}{N(1-\alpha)}\right)^{\hat\xi}
-1
\right].
\xi=0
\hat q_\alpha
=
u+\hat\beta\ln
\left(\frac{N_u}{N(1-\alpha)}\right)
ES
期望短缺 ES 衡量超过 VaR 后的平均损失\xi\lt 1 条件下，GPD 给出
ES_\alpha
=
E[X\mid X\gt q_\alpha]
=
\frac{q_\alpha+\beta-\xi u}{1-\xi}.
从样本估计
\widehat{ES}_\alpha
=
\frac{\hat q_\alpha+\hat\beta-\hat\xi u}{1-\hat\xi}.
\xi\ge1 ，ES 不存在，说明尾部极重
ES 与 VaR 的相对大小 由 \xi 控制\alpha\to1 时
\frac{ES_\alpha}{q_\alpha}
\to
\frac{1}{1-\xi}.
\xi 越大，ES 相对 VaR 越大。\xi 不只是分布类型参数，也是尾部风险度量的核心参数。
Hill 方法与条件 EVT
Hill方法
定义
\bar F(x)=x^{-\alpha}L(x),
\qquad \alpha\gt 0.
\alpha 与 EVT 形状参数满足
\xi=\frac{1}{\alpha}.
\xi 。
估计量k 个顺序统计量，设正损失样本的降序顺序统计量为
X_{(1)}\ge X_{(2)}\ge\cdots\ge X_{(N)}
\hat\xi_{k}^{H}
=
\frac{1}{k}
\sum_{j=1}^{k}
\left(\ln X_{(j)}-\ln X_{(k+1)}\right).
\hat\alpha_{k}
=
\frac{1}{\hat\xi_{k}^{H}}.
k 的选取
k\to\infty,
\qquad
\frac{k}{N}\to0.
k 太小，方差大；k 太大，会把非尾部样本纳入估计，偏差大。k 下估计值是否出现相对稳定区间，选取稳定时的值
Hill型尾部估计器
取阈值为X_{(k+1)} ，当阈值足够大时，有
\bar F(x)=x^{-\alpha}L(x)\rightarrow Cx^{-\alpha}
\bar F(X_{(k+1)})\approx\frac{k}{N} 解出C ，再估计出\alpha ，解得
\widehat{\bar F}_{H}(x)
=
\frac{k}{N}
\left(\frac{x}{X_{(k+1)}}\right)^{-\hat\alpha_{k}},
\qquad x\gt X_{(k+1)}
k/N 和幂律尾部外推结合起来。
与Smith型尾部估计器相比，Hill 方法更依赖 Fréchet 重尾假设。
条件极值理论
金融时间序列常需要条件EVT。
直接对收益或损失序列使用 GPD，可能受到条件异方差和波动聚集影响。
条件 EVT 先用时间序列模型刻画条件均值和条件波动：
X_t=\mu_t+\sigma_t Z_t.
再对标准化创新项 Z_t 应用 GPD 阈值超越方法。
条件 VaR 与条件 ES 由创新项风险量缩放得到。
若已估计下一期条件均值和条件波动，则
\widehat{\operatorname{VaR}}_{t+1}^{\alpha}
=
\hat\mu_{t+1}
+
\hat\sigma_{t+1}\hat q_\alpha(Z).
条件 ES 为
\widehat{ES}_{t+1}^{\alpha}
=
\hat\mu_{t+1}
+
\hat\sigma_{t+1}\widehat{ES}_\alpha(Z).
这样可以把波动预测和尾部外推结合起来，得到随时间变化的风险度量。
多元模型
多元建模基础
随机向量、联合分布与边缘分布
联合分布
多元模型不只是分别研究 X_1,\ldots,X_d 的单变量分布，而是研究整个向量 \boldsymbol{X} 的联合分布 。
\boldsymbol{X}=(X_1,\ldots,X_d)^{\top}
X_j 表示第 j 个风险因子、收益或损失变量。
联合分布同时包含两类信息：边缘分布 相依结构
随机向量的联合分布函数定义为
F_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x})
=
F_{\boldsymbol{X}}(x_1,\ldots,x_d)
=
P(\boldsymbol{X}\le \boldsymbol{x})
=
P(X_1\le x_1,\ldots,X_d\le x_d).
\boldsymbol{X}\le \boldsymbol{x} 是逐分量比较，即所有 X_j\le x_j 同时成立。X_j 表示第 j 个损失变量，则 F_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x}) 表示所有损失都不超过各自阈值 的概率。
因此联合分布描述的是一个多维区域中的概率，而不是某个单一变量的概率。
边缘分布
一维边缘分布
F_i(x_i)
=
P(X_i\le x_i)
=
F(\infty,\ldots,\infty,x_i,\infty,\ldots,\infty).
i 个变量，其他变量不加约束。F_i 绝对连续，则边缘密度为
f_i(x)
=
\frac{d}{dx}F_i(x).
多维边缘分布
\boldsymbol{X}=(\boldsymbol{X}_1^{\top},\boldsymbol{X}_2^{\top})^{\top},
\qquad
\boldsymbol{X}_1=(X_1,\ldots,X_k)^{\top},
\boldsymbol{X}_1 的边缘分布为
F_{\boldsymbol{X}_1}(\boldsymbol{x}_1)
=
P(\boldsymbol{X}_1\le \boldsymbol{x}_1)
=
F(x_1,\ldots,x_k,\infty,\ldots,\infty).
联合密度
若联合分布可以写成某个非负函数的多重积分，则称该分布绝对连续 ，该非负函数称为联合密度。
F(x_1,\ldots,x_d)
=
\int_{-\infty}^{x_1}
\cdots
\int_{-\infty}^{x_d}
f(u_1,\ldots,u_d)\,du_d\cdots du_1.
f 描述概率质量在多维空间中的分布方式。
若联合密度存在，则可通过积分得到边缘密度。
生存函数
多元生存函数描述所有分量同时超过阈值 的概率。
\bar F_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x})
=
P(\boldsymbol{X}\gt \boldsymbol{x})
=
P(X_1\gt x_1,\ldots,X_d\gt x_d).
\boldsymbol{X}\gt \boldsymbol{x} 也是逐分量比较。
第 i 个变量的边缘生存函数为
\bar F_i(x_i)
=
P(X_i\gt x_i).
风险管理更关心右尾损失，因此 \bar F_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x}) 常用来描述多个风险因子同时处于高损失区间的概率。
条件分布、独立性与相依结构
条件密度
条件分布刻画的是：已知一部分变量后，剩余变量的分布如何变化。
\boldsymbol{X}=(\boldsymbol{X}_1^{\top},\boldsymbol{X}_2^{\top})^{\top}.
\boldsymbol{X} 有联合密度 f ，且 \boldsymbol{X}_1 的边缘密度为 f_{\boldsymbol{X}_1} ，则条件密度为
f_{\boldsymbol{X}_2\mid \boldsymbol{X}_1}(\boldsymbol{x}_2\mid \boldsymbol{x}_1)
=
\frac{f(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2)}{f_{\boldsymbol{X}_1}(\boldsymbol{x}_1)}.
f_{\boldsymbol{X}_1}(\boldsymbol{x}_1) 起归一化作用，使条件密度对 \boldsymbol{x}_2 积分后等于 1 。
条件密度描述在给定 \boldsymbol{X}_1=\boldsymbol{x}_1 后，\boldsymbol{X}_2 附近的概率强度。
条件分布
条件分布函数由条件密度继续积分得到。
F_{\boldsymbol{X}_2\mid \boldsymbol{X}_1}(\boldsymbol{x}_2\mid \boldsymbol{x}_1)
=
\int_{-\infty}^{x_{k+1}}
\cdots
\int_{-\infty}^{x_d}
\frac{f(\boldsymbol{x}_1,u_{k+1},\ldots,u_d)}{f_{\boldsymbol{X}_1}(\boldsymbol{x}_1)}
\,du_d\cdots du_{k+1}.
条件分布函数描述在给定 \boldsymbol{X}_1=\boldsymbol{x}_1 后，\boldsymbol{X}_2 落在某个区域内的概率。
多元风险建模中，条件分布用于分析某些市场变量已经处于特定状态时，其余变量的风险。
独立性
独立性是最强的无相依假设，若 \boldsymbol{X}_1 与 \boldsymbol{X}_2 独立，则
F(\boldsymbol{x})
=
F_{\boldsymbol{X}_1}(\boldsymbol{x}_1)F_{\boldsymbol{X}_2}(\boldsymbol{x}_2),
\qquad \forall \boldsymbol{x}.
f(\boldsymbol{x})
=
f_{\boldsymbol{X}_1}(\boldsymbol{x}_1)f_{\boldsymbol{X}_2}(\boldsymbol{x}_2).
\boldsymbol{X}_1 的取值不会改变 \boldsymbol{X}_2 的分布。
若所有分量相互独立，则联合分布完全分解为边缘分布的乘积。
F(\boldsymbol{x})
=
\prod_{j=1}^d F_j(x_j),
\qquad \boldsymbol{x}\in\mathbb R^d.
f(\boldsymbol{x})
=
\prod_{j=1}^d f_j(x_j).
但在金融数据中，独立性通常过强，因为市场压力时期变量往往一起波动。
矩、相关矩阵与样本估计
均值向量
描述随机向量的位置。
E(\boldsymbol{X})
=
\boldsymbol{\mu}
=
(E(X_1),\ldots,E(X_d))^{\top}.
\mu_j=E(X_j) 是第 j 个变量的中心水平。
均值向量不描述变量之间的联动关系。
协方差矩阵
描述二阶线性相依关系。
\operatorname{cov}(\boldsymbol{X})
=
E\left[(\boldsymbol{X}-E(\boldsymbol{X}))(\boldsymbol{X}-E(\boldsymbol{X}))^{\top}\right]
=
\boldsymbol{\Sigma}.
\sigma_{ij}
=
\operatorname{cov}(X_i,X_j)
=
E\left[(X_i-E(X_i))(X_j-E(X_j))\right].
\sigma_{ii} 是 X_i 的方差。\sigma_{ij} 是 X_i 和 X_j 的协方差。
协方差受变量单位影响，因此不同变量之间的协方差不宜直接比较大小。
相关矩阵
把协方差标准化为无量纲的线性相关系数。
\rho_{ij}
=
\frac{\operatorname{cov}(X_i,X_j)}
{\sqrt{\operatorname{var}(X_i)\operatorname{var}(X_j)}}.
定义
\Delta(\boldsymbol{\Sigma})
=
\operatorname{diag}
\left(\sqrt{\sigma_{11}},\ldots,\sqrt{\sigma_{dd}}\right),
\mathcal P(\boldsymbol{\Sigma})
=
\Delta(\boldsymbol{\Sigma})^{-1}\boldsymbol{\Sigma}\Delta(\boldsymbol{\Sigma})^{-1}.
\boldsymbol{P}=\mathcal P(\boldsymbol{\Sigma}).
\boldsymbol{P} 的对角线元素为 1 ，非对角线元素为两两相关系数。
线性变换
若 \boldsymbol{B} 是矩阵，\boldsymbol{b} 是常向量，则
E(\boldsymbol{B}\boldsymbol{X}+\boldsymbol{b})
=
\boldsymbol{B}E(\boldsymbol{X})+\boldsymbol{b},
\operatorname{cov}(\boldsymbol{B}\boldsymbol{X}+\boldsymbol{b})
=
\boldsymbol{B}\operatorname{cov}(\boldsymbol{X})\boldsymbol{B}^{\top}.
两个变量之和的方差为
\operatorname{var}(X_1+X_2)
=
\operatorname{var}(X_1)
+
\operatorname{var}(X_2)
+
2\operatorname{cov}(X_1,X_2).
因此组合风险不仅取决于单个资产自身方差，也取决于资产之间的协方差。
特征函数
刻画多元分布的另一种等价方式。
\phi_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{t})
=
E\left(e^{i\boldsymbol{t}^{\top}\boldsymbol{X}}\right),
\qquad \boldsymbol{t}\in\mathbb R^d.
\phi_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{t}) 就能确定 \boldsymbol{X} 的分布。
后面的正态混合分布、球形分布和椭圆分布都可以用特征函数简洁表示。
样本估计
样本均值
\bar{\boldsymbol{X}}
=
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \boldsymbol{X}_i,
样本方差
\boldsymbol{S}
=
\frac{1}{n}
\sum_{i=1}^n
(\boldsymbol{X}_i-\bar{\boldsymbol{X}})(\boldsymbol{X}_i-\bar{\boldsymbol{X}})^{\top}.
n 时，
E(\boldsymbol{S})
=
\frac{n-1}{n}\boldsymbol{\Sigma}.
\boldsymbol{S}_u
=
\frac{n}{n-1}\boldsymbol{S}.
样本相关矩阵
r_{jk}
=
\frac{s_{jk}}{\sqrt{s_{jj}s_{kk}}},
\qquad
\boldsymbol{R}
=
\mathcal P(\boldsymbol{S}).
s_{jk} 是样本协方差矩阵 \boldsymbol{S} 的第 (j,k) 个元素。\boldsymbol{R} 用来估计总体相关矩阵 \boldsymbol{P} 。
多元正态分布与正态性检验
定义
可以由标准正态向量的线性变换定义，若
\boldsymbol{Z}\sim N_k(0,\boldsymbol{I}_k),
\qquad
\boldsymbol{X}\stackrel{d}{=}\boldsymbol{\mu}+\boldsymbol{A}\boldsymbol{Z},
\boldsymbol{X}\sim N_d(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma}),
\qquad
\boldsymbol{\Sigma}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{\top}.
E(\boldsymbol{X})=\boldsymbol{\mu},
\qquad
\operatorname{cov}(\boldsymbol{X})=\boldsymbol{\Sigma}.
\boldsymbol{\mu} 控制位置，\boldsymbol{\Sigma} 控制尺度、方向和相关结构。
密度函数
若 \boldsymbol{\Sigma} 正定，则密度为
f_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x})
=
\frac{1}{(2\pi)^{\frac{d}{2}}|\boldsymbol{\Sigma}|^{\frac{1}{2}}}
e^{-\frac{1}{2}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})^{\top}\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})}.
(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})^{\top}\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})
它衡量 \boldsymbol{x} 在考虑协方差结构后的离中心距离。
特征函数
\phi_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{t})
=
e^{i\boldsymbol{t}^{\top}\boldsymbol{\mu}-\frac{1}{2}\boldsymbol{t}^{\top}\boldsymbol{\Sigma}\boldsymbol{t}}.
线性变换
若 \boldsymbol{X}\sim N_d(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma}) ，则
\boldsymbol{B}\boldsymbol{X}+\boldsymbol{b}
\sim
N_k(\boldsymbol{B}\boldsymbol{\mu}+\boldsymbol{b},\boldsymbol{B}\boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{B}^{\top}).
\boldsymbol{a} ，
\boldsymbol{a}^{\top}\boldsymbol{X}
\sim
N(\boldsymbol{a}^{\top}\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{a}^{\top}\boldsymbol{\Sigma}\boldsymbol{a}).
因此若资产损失服从多元正态，则任意线性组合 的组合损失仍为正态
模拟相关风险因子
若 \boldsymbol{\Sigma}^{\frac{1}{2}}\left(\boldsymbol{\Sigma}^{\frac{1}{2}}\right)^{\top}=\boldsymbol{\Sigma} ，且 \boldsymbol{Z}\sim N_d(0,\boldsymbol{I}_d) ，则
\boldsymbol{X}
=
\boldsymbol{\mu}+\boldsymbol{\Sigma}^{\frac{1}{2}}\boldsymbol{Z}
N_d(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma}) 。
这一步把独立标准正态变量转换成具有指定协方差结构的多元正态变量。
多元正态性检验
边缘分布是否正态 \boldsymbol{a}^{\top}\boldsymbol{X} 都是一维正态。马氏距离
D_i^2
=
(\boldsymbol{X}_i-\bar{\boldsymbol{X}})^{\top}\boldsymbol{S}^{-1}(\boldsymbol{X}_i-\bar{\boldsymbol{X}}).
d 维多元正态，样本马氏距离平方应大致符合\chi_d^2 分布。Mardia 检验
D_{ij}
=
(\boldsymbol{X}_i-\bar{\boldsymbol{X}})^{\top}\boldsymbol{S}^{-1}(\boldsymbol{X}_j-\bar{\boldsymbol{X}}).
b_d
=
\frac{1}{n^2}
\sum_{i=1}^n
\sum_{j=1}^n
D_{ij}^3.
k_d
=
\frac{1}{n}
\sum_{i=1}^n
D_i^4.
模型主要缺陷
尾部过薄 对称性较强
正态混合分布
正态方差混合分布
核心思想
在正态分布外加入一个随机尺度 W ，且 W 与 \boldsymbol{Z} 独立，设
\boldsymbol{Z}\sim N_k(0,\boldsymbol{I}_k),
\qquad
W\ge 0,\\
\boldsymbol{X}
\stackrel{d}{=}
\boldsymbol{\mu}+\sqrt W \boldsymbol{A}\boldsymbol{Z}
\boldsymbol{X} 称为正态方差混合分布。\boldsymbol{\Sigma}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{\top} ，则 \boldsymbol{\Sigma} 控制方向、尺度和相关结构。
给定 W=w 后，\boldsymbol{X} 是普通多元正态分布。
\boldsymbol{X}\mid W=w
\sim
N_d(\boldsymbol{\mu},w\boldsymbol{\Sigma}).
W 较大时，整组变量的波动一起放大；W 较小时，整组变量的波动一起收缩。因此 W 是所有分量共享的随机波动水平。
只要 W 有较大概率取到大值，无条件分布就会比正态分布有更厚的尾部
性质
矩 E(W) 存在，则
E(\boldsymbol{X})=\boldsymbol{\mu},
\qquad
\operatorname{cov}(\boldsymbol{X})=E(W)\boldsymbol{\Sigma}.
\boldsymbol{\Sigma} 不一定直接等于协方差矩阵，改称为分散矩阵 ，只有在 E(W)=1 时，\boldsymbol{\Sigma} 才等于 \operatorname{cov}(\boldsymbol{X}) 。独立性 W 而相依。W 几乎处处为常数时，模型退化为普通正态分布，此时零相关才推出独立。特征函数 W 的拉普拉斯变换给出，设 W 的分布为 H ，其拉普拉斯变换为
\hat H(\theta)
=
\int_0^\infty e^{-\theta v}\,dH(v).
\phi_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{t})
=
e^{i\boldsymbol{t}^{\top}\boldsymbol{\mu}}
\hat H\left(\frac{1}{2}\boldsymbol{t}^{\top}\boldsymbol{\Sigma}\boldsymbol{t}\right).
\boldsymbol{t}^{\top}\boldsymbol{\Sigma}\boldsymbol{t} 来自正态部分，\hat H 决定混合后的尾部形态。密度函数 \boldsymbol{\Sigma} 正定，则密度可以写成条件正态密度的加权平均。
f(\boldsymbol{x})
=
\int_0^\infty
\frac{w^{-\frac{d}{2}}}
{(2\pi)^{\frac{d}{2}}|\boldsymbol{\Sigma}|^{\frac{1}{2}}}
e^{-\frac{(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})^{\top}\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})}{2w}}
\,dH(w).
w\boldsymbol{\Sigma} 的正态密度，无条件密度是不同尺度正态密度的混合。线性变换
\boldsymbol{X}\sim M_d(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma},\hat H),
\qquad
\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{B}\boldsymbol{X}+\boldsymbol{b},
\boldsymbol{Y}
\sim
M_k(\boldsymbol{B}\boldsymbol{\mu}+\boldsymbol{b},\boldsymbol{B}\boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{B}^{\top},\hat H).
W 的分布不变，位置参数和分散矩阵按照线性变换规则改变
模拟过程
先成混合变量 W ，再生成 \boldsymbol{Z}\sim N_d(0,\boldsymbol{\Sigma}) ，最后令
\boldsymbol{X}=\boldsymbol{\mu}+\sqrt W \boldsymbol{Z}.
这种模拟方式能生成多个分量同时放大的联合尾部波动
多元t分布
多元 t 分布是正态方差混合的典型特例，设定W 符合逆伽马分布
W\sim \operatorname{Ig}\left(\frac{\nu}{2},\frac{\nu}{2}\right),
\boldsymbol{X}=\boldsymbol{\mu}+\sqrt W \boldsymbol{A}\boldsymbol{Z},
t 分布，记为X\sim t_d(u,\mu,\Sigma) \nu 是自由度，控制尾部厚度，\nu 越小，W 取到大值的概率越高，尾部越厚
协方差矩阵为
\operatorname{cov}(\boldsymbol{X})
=
\frac{\nu}{\nu-2}\boldsymbol{\Sigma},
\qquad \nu\gt 2.
\nu\le 2 时，协方差不存在，当 \nu 增大时
\frac{\nu}{\nu-2}
\to 1,
t 分布逐渐接近多元正态分布
多元 t 可以看作多元正态的厚尾推广t 的联合尾部来自所有分量共享同一个随机尺度 W W 的波动会让多个分量同时处于高波动状态，这会产生比普通正态更强的联合极端风险
广义双曲（GH）分布
设定方差混合变量 W 服从广义逆高斯分布（GIG）
W\sim N^-(\lambda,\chi,\psi)
\\
\boldsymbol{X}\sim GH_d(\lambda,\chi,\psi,\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma}),
该族提供了刻画金融收益厚尾的灵活模型。多元 (t) 分布通常是广义双曲分布族的边界特例
\operatorname{Ig}\left(\frac{\nu}{2},\frac{\nu}{2}\right)
=
N^-\left(
-\frac{\nu}{2},
\nu,
0
\right)
正态方差混合的缺陷
解决了厚尾问题，但仍保持中心对称，因为
\boldsymbol{X}=\boldsymbol{\mu}+\sqrt W \boldsymbol{A}\boldsymbol{Z},
\boldsymbol{Z} 关于 0 对称，所以 \boldsymbol{X}-\boldsymbol{\mu} 关于 0 对称。
若数据存在明显偏度，需要使用正态均值-方差混合。
正态均值-方差混合分布
定义
正态均值-方差混合让条件均值也随 W 改变，一般形式为
\boldsymbol{X}
\stackrel{d}{=}
m(W)+\sqrt W \boldsymbol{A}\boldsymbol{Z}.
W=w 后，
\boldsymbol{X}\mid W=w
\sim
N_d(m(w),w\boldsymbol{\Sigma}).
W 同时影响条件均值和条件方差
常用的线性均值设定为
m(W)
=
\boldsymbol{\mu}+W\boldsymbol{\gamma}.
\boldsymbol{X}
\stackrel{d}{=}
\boldsymbol{\mu}+W\boldsymbol{\gamma}+\sqrt W \boldsymbol{A}\boldsymbol{Z}.
\boldsymbol{\gamma} 是偏度方向参数，当 W 较大时，分布不仅尺度变大，中心还会沿 \boldsymbol{\gamma} 的方向移动，这使模型能够刻画非对称厚尾\boldsymbol{\gamma}=0 时，正态均值-方差混合退化为正态方差混合，此时
\boldsymbol{X}=\boldsymbol{\mu}+\sqrt W \boldsymbol{A}\boldsymbol{Z}.
\boldsymbol{\mu} 对称。\boldsymbol{\gamma}\ne0 时，分布通常不再是椭圆分布
矩
若一阶矩和二阶矩存在，则
E(\boldsymbol{X})
=
\boldsymbol{\mu}+E(W)\boldsymbol{\gamma},
\operatorname{cov}(\boldsymbol{X})
=
E(W)\boldsymbol{\Sigma}
+
\operatorname{var}(W)\boldsymbol{\gamma}\boldsymbol{\gamma}^{\top}.
W\boldsymbol{\gamma} 的波动。
因此协方差不仅由 \boldsymbol{\Sigma} 决定，也由偏度方向 \boldsymbol{\gamma} 决定。
广义双曲分布族
广义双曲分布族也可以通过正态均值-方差混合构造，若
\boldsymbol{X}\sim GH_d(\lambda,\chi,\psi,\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma},\boldsymbol{\gamma}),
\boldsymbol{B}\boldsymbol{X}+\boldsymbol{b}
\sim
GH_k(\lambda,\chi,\psi,\boldsymbol{B}\boldsymbol{\mu}+\boldsymbol{b},\boldsymbol{B}\boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{B}^{\top},\boldsymbol{B}\boldsymbol{\gamma}).
其中 \boldsymbol{\gamma} 控制偏度，\boldsymbol{\Sigma} 控制分散结构，混合变量控制尾部厚度。
球形与椭圆分布
从球形分布到椭圆分布
球形分布
旋转不变性 \boldsymbol{U} ，都有
\boldsymbol{U}\boldsymbol{X}
\stackrel{d}{=}
\boldsymbol{X},
\qquad
\boldsymbol{U}\boldsymbol{U}^{\top}=\boldsymbol{U}^{\top}\boldsymbol{U}=\boldsymbol{I}_d,
特征函数 \boldsymbol{t}^{\top}\boldsymbol{t} 。
\phi_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{t})
=
\psi(\boldsymbol{t}^{\top}\boldsymbol{t})
=
\psi(t_1^2+\cdots+t_d^2).
\psi 称为生成元，\boldsymbol{t}^{\top}\boldsymbol{t} 只表示向量 \boldsymbol{t} 的长度平方，不包含方向信息。
\phi_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{t})
=
e^{-\frac{1}{2}\boldsymbol{t}^{\top}\boldsymbol{t}}.
\\
\psi(u)
=
e^{-\frac{1}{2}u}.
线性组合
\boldsymbol{a}^{\top}\boldsymbol{X}
\stackrel{d}{=}
\|\boldsymbol{a}\|X_1.
\boldsymbol{a} 和 \boldsymbol{b} 有相同长度，则 \boldsymbol{a}^{\top}\boldsymbol{X} 与 \boldsymbol{b}^{\top}\boldsymbol{X} 同分布，这说明球形分布中没有方向差异，只有径向距离差异径向变量
\boldsymbol{X}
\stackrel{d}{=}
R\boldsymbol{S}.
R=\|\boldsymbol{X}\|\ge0 是径向变量，表示离原点多远。\boldsymbol{S} 在单位球面上均匀分布，表示方向。R 与 \boldsymbol{S} 独立。正态方差混合
\boldsymbol{X}
\stackrel{d}{=}
\sqrt W \boldsymbol{Z},
\qquad
\boldsymbol{Z}\sim N_d(0,\boldsymbol{I}_d),
\phi_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{t})
=
\hat H\left(\frac{1}{2}\boldsymbol{t}^{\top}\boldsymbol{t}\right)
\\
\psi(u)
=
\hat H\left(\frac{1}{2}u\right).
W 改变径向分布，但不改变方向均匀性
椭圆分布
定义
\boldsymbol{Y}\sim S_k(\psi),
\qquad
\boldsymbol{X}
\stackrel{d}{=}
\boldsymbol{\mu}+\boldsymbol{A}\boldsymbol{Y},
\boldsymbol{X} 服从椭圆分布，记为
\boldsymbol{X}\sim E_d(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma},\psi),
\qquad
\boldsymbol{\Sigma}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{\top}.
\boldsymbol{\mu} 是位置参数，\boldsymbol{\Sigma} 是分散矩阵，控制椭圆的方向和相对尺度，\psi 是生成元，控制径向分布和尾部形态几何含义 \boldsymbol{A} 会拉伸、压缩和旋转球形分布。\boldsymbol{\mu} 把中心从原点移动到 \boldsymbol{\mu} 。径向表示
\boldsymbol{X}
\stackrel{d}{=}
\boldsymbol{\mu}+R\boldsymbol{A}\boldsymbol{S}.
R\ge0 控制离中心的距离。\boldsymbol{S} 是单位球面上的随机方向。\boldsymbol{A} 把球形方向变成椭圆方向。多元正态和多元 t 都属于椭圆分布
椭圆分布的基本性质
线性变换
椭圆分布在线性变换下封闭，若
\boldsymbol{X}\sim E_d(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma},\psi),
\qquad
\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{B}\boldsymbol{X}+\boldsymbol{b},
\boldsymbol{Y}
\sim
E_k(\boldsymbol{B}\boldsymbol{\mu}+\boldsymbol{b},\boldsymbol{B}\boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{B}^{\top},\psi).
\boldsymbol{a}^{\top}\boldsymbol{X}
\sim
E_1(\boldsymbol{a}^{\top}\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{a}^{\top}\boldsymbol{\Sigma}\boldsymbol{a},\psi).
这使椭圆分布适合描述投资组合的线性风险。
边缘分布
椭圆分布的边缘分布仍然是椭圆分布若
\boldsymbol{\mu}
=
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{\mu}_1\\
\boldsymbol{\mu}_2
\end{pmatrix},
\qquad
\boldsymbol{\Sigma}
=
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{\Sigma}_{11} & \boldsymbol{\Sigma}_{12}\\
\boldsymbol{\Sigma}_{21} & \boldsymbol{\Sigma}_{22}
\end{pmatrix},
\boldsymbol{X}_1
\sim
E_k(\boldsymbol{\mu}_1,\boldsymbol{\Sigma}_{11},\psi),
\boldsymbol{X}_2
\sim
E_{d-k}(\boldsymbol{\mu}_2,\boldsymbol{\Sigma}_{22},\psi).
因此从椭圆随机向量中取出部分分量，不会离开椭圆分布族。
条件分布
椭圆分布的条件分布通常仍然是椭圆分布，但生成元可能改变
因此椭圆族具有封闭性，但不一定像正态族那样完全简单。
二次型
椭圆分布中的二次型对应径向变量，若 \boldsymbol{\Sigma} 可逆，则
Q
=
(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{\mu})^{\top}\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{\mu})
\stackrel{d}{=}
R^2.
R^2\sim \chi_d^2.
t 分布，
\frac{R^2}{d}
\sim
F(d,\nu).
因此不同椭圆分布的主要差别体现在径向变量 R 的尾部。
极端区域
椭圆分布在椭圆半径定义的极端区域内保持相关结构
\rho\left\{\boldsymbol{X}\mid (\boldsymbol{X}-\boldsymbol{\mu})^{\top}\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{\mu})\ge c\right\}
=
\rho(\boldsymbol{X}).
但它也说明普通椭圆模型对非对称尾部相依的刻画有限
椭圆分布的稳健估计
椭圆分布中的 \boldsymbol{\Sigma} 应理解为分散矩阵 ，不一定直接等于协方差矩阵。
若二阶矩存在，则
\operatorname{cov}(\boldsymbol{X})
=
c\boldsymbol{\Sigma}
c\gt0 成立。
若二阶矩不存在，协方差矩阵没有定义，但分散矩阵 \boldsymbol{\Sigma} 仍可作为椭圆形状参数。
因此厚尾椭圆模型中，直接用样本协方差估计相依结构可能不稳健。
椭圆分布可以用基于马氏距离的 M 估计来估计位置和分散矩阵。
在第 k 次迭代中，先计算
D_i^2
=
(\boldsymbol{X}_i-\hat{\boldsymbol{\mu}}^{[k]})^{\top}
\left(\hat{\boldsymbol{\Sigma}}^{[k]}\right)^{-1}
(\boldsymbol{X}_i-\hat{\boldsymbol{\mu}}^{[k]}).
再更新位置参数：
\hat{\boldsymbol{\mu}}^{[k+1]}
=
\frac{\sum_{i=1}^n w_1(D_i)\boldsymbol{X}_i}
{\sum_{i=1}^n w_1(D_i)}.
更新分散矩阵：
\hat{\boldsymbol{\Sigma}}^{[k+1]}
=
\frac{1}{n}
\sum_{i=1}^n
w_2(D_i^2)
(\boldsymbol{X}_i-\hat{\boldsymbol{\mu}}^{[k]})(\boldsymbol{X}_i-\hat{\boldsymbol{\mu}}^{[k]})^{\top}.
权重函数决定估计量如何处理远离中心的观测。
对多元 t 型估计，常用权重为
w_1(x)
=
\frac{d+\nu}{x+\nu}.
对应地，
w_2(x^2)
=
\frac{d+\nu}{x+\nu}.
马氏距离越大的观测权重越小，因此极端观测对估计结果的影响被削弱。
Kendall 秩相关可以用于稳健估计椭圆分布中的线性相关参数。
对二维椭圆分布，有
\rho_\tau(X_1,X_2)
=
\frac{2}{\pi}\arcsin(\rho),
\rho
=
\frac{\sigma_{12}}{\sqrt{\sigma_{11}\sigma_{22}}}.
因此可以反解出
\rho
=
\sin\left(\frac{\pi}{2}\rho_\tau(X_1,X_2)\right).
Kendall 秩相关基于排序信息，比普通样本相关更不容易被极端值破坏。
Copula
Copula介绍
Copula理论
Copula的思想
多元联合分布同时包含两部分信息：F_1,\ldots,F_d ；
Copula 用来把边缘分布 和相依结构 分开处理，使得边缘模型和相依模型可以分开建模。
Copula函数
定义 d 维 Copula 是定义在 [0,1]^d 上、所有边缘分布都是标准均匀分布的联合分布函数。
C(\boldsymbol{u})
=
C(u_1,\ldots,u_d),
\qquad
C:[0,1]^d\to[0,1].
\boldsymbol{U}=(U_1,\ldots,U_d)^{\top}
C ，且每个 U_i\sim U(0,1) ，则 C 就是 \boldsymbol{U} 的 Copula。u_i 是概率尺度上的分位水平，而不是原始损失或收益值边界性质 u_i=0 ，则
C(u_1,\ldots,u_d)=0.
U_i\le0 的概率为 0 。i ，
C(1,\ldots,1,u_i,1,\ldots,1)=u_i.
矩形概率非负 a_i\le b_i ，有
P(a_1\le U_1\le b_1,\ldots,a_d\le U_d\le b_d)\ge0.
\sum_{i_1=1}^{2}\cdots\sum_{i_d=1}^{2}
(-1)^{i_1+\cdots+i_d}
C(u_{1i_1},\ldots,u_{di_d})\ge0,
u_{j1}=a_j,
\qquad
u_{j2}=b_j.
C 真的能作为一个多元分布函数。边缘分布 C 是 d 维 Copula，取其中任意 k 个分量，得到的 k 维边缘分布仍是 Copula。
Sklar 定理
广义反函数 F 的广义反函数定义为
F^{\leftarrow}(u)
=
\inf\{x:F(x)\ge u\}.
F^{\leftarrow}(u)\lt x\quad\Leftrightarrow\quad u\lt F(x)
\\
F^{\leftarrow}(U)\lt x\quad\Leftrightarrow\quad U\lt F(x)
U\sim U(0,1) ，则
P(F^{\leftarrow}(U)\le x)
=
P(U\le F(x))
=
F(x)
F^{\leftarrow}(U)\sim F Sklar 定理 F 是 \boldsymbol{X} 的联合分布函数，边缘分布为 F_1,\ldots,F_d ，则存在 Copula C ，使得
F(x_1,\ldots,x_d)
=
C(F_1(x_1),\ldots,F_d(x_d)).
从联合分布中抽取Copula
C(u_1,\ldots,u_d)
=
F\left(
F_1^{\leftarrow}(u_1),\ldots,F_d^{\leftarrow}(u_d)
\right).
U_i=F_i(X_i) ，则
\boldsymbol{U}
=
(F_1(X_1),\ldots,F_d(X_d))^{\top}
\boldsymbol{X} 的 Copula从Copula构建联合分布 C 和一维边缘分布 F_1,\ldots,F_d ，定义
F(x_1,\ldots,x_d)
=
C(F_1(x_1),\ldots,F_d(x_d)).
F 是一个联合分布，边缘分布正是 F_1,\ldots,F_d ，这就是 meta 分布 的基本构造思想。
Copula的性质
Copula 在严格递增边缘变换下保持不变。\boldsymbol{X} 具有连续边缘和 Copula C ，且每个 T_i 严格递增，则
(T_1(X_1),\ldots,T_d(X_d))^{\top}
C 。单调变换不变的相依结构 。
Fréchet 界给出任意 Copula 的上下边界。
\max\left(\sum_{i=1}^d u_i+1-d,0\right)
\le
C(\boldsymbol{u})
\le
\min(u_1,\ldots,u_d).
1 。
对一般联合分布，也有对应的 Fréchet 界。
\max\left(\sum_{i=1}^d F_i(x_i)+1-d,0\right)
\le
F(\boldsymbol{x})
\le
\min(F_1(x_1),\ldots,F_d(x_d)).
常用Copula
显式与隐式Copula 独立 Copula 描述变量相互独立
\Pi(u_1,\ldots,u_d)
=
\prod_{i=1}^d u_i.
\Pi 。共单调 Copula 描述完全正相依。
M(\boldsymbol{u})
=
\min(u_1,\ldots,u_d).
\boldsymbol{U}=(U,\ldots,U)^{\top} ，其中 U\sim U(0,1) ，则 \boldsymbol{U} 的 Copula 就是 M 。二维反单调 Copula 描述完全负相依。
W(u_1,u_2)
=
\max(u_1+u_2-1,0).
\boldsymbol{U}=(U,1-U)^{\top} ，则其 Copula 为 W 。高斯 Copula 由多元正态分布抽取。
\boldsymbol{Y}\sim N_d(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma}),
\boldsymbol{P}=\rho(\boldsymbol{\Sigma}).
C_{\boldsymbol{P}}^{\mathrm{Ga}}(\boldsymbol{u})
=
\Phi_{\boldsymbol{P}}
\left(
\Phi^{-1}(u_1),\ldots,\Phi^{-1}(u_d)
\right).
\Phi 是一维标准正态分布函数，\Phi_{\boldsymbol{P}} 是相关矩阵为 \boldsymbol{P} 的多元正态分布函数。t Copulat 分布抽取。
C_{\nu,\boldsymbol{P}}^{t}(\boldsymbol{u})
=
t_{\nu,\boldsymbol{P}}
\left(
t_\nu^{-1}(u_1),\ldots,t_\nu^{-1}(u_d)
\right).
t_\nu 是一维标准 t 分布函数。t_{\nu,\boldsymbol{P}} 是 t_d(\nu,\boldsymbol{0},\boldsymbol{P}) 的联合分布函数。\nu\lt\infty 时，即使 \boldsymbol{P}=\boldsymbol{I}_d ，t Copula 通常也不是独立 Copula，因为多元 t 的分量共享随机尺度。Gumbel Copula 是典型显式 Copula。
C_\theta^{\mathrm{Gu}}(u_1,u_2)
=
e^{
-\left(
(-\ln u_1)^\theta+(-\ln u_2)^\theta
\right)^{\frac{1}{\theta}}
},
\qquad 1\le\theta\lt\infty.
\theta=1 时为独立 Copula。\theta\to\infty 时趋向共单调 Copula。上尾相依 。Clayton Copula 也是典型显式 Copula。
C_\theta^{\mathrm{Cl}}(u_1,u_2)
=
(u_1^{-\theta}+u_2^{-\theta}-1)^{-\frac{1}{\theta}},
\qquad 0\le\theta\lt\infty.
\theta=0 按极限解释为独立 Copula。\theta\to\infty 时趋向共单调 Copula。
隐式Copula
步骤
\boldsymbol{X}\sim F
F 的边缘分布连续，则返回
\boldsymbol{U}
=
(F_1(X_1),\ldots,F_d(X_d))^{\top}
\boldsymbol{U} 的分布就是 F 对应的 Copula高斯 Copula 的模拟步骤
\boldsymbol{Z}\sim N_d(\boldsymbol{0},\boldsymbol{P}).
\boldsymbol{U}
=
(\Phi(Z_1),\ldots,\Phi(Z_d))^{\top}.
\boldsymbol{U} 服从 C_{\boldsymbol{P}}^{\mathrm{Ga}} t Copula 的模拟步骤
\boldsymbol{X}\sim t_d(\nu,\boldsymbol{0},\boldsymbol{P}).
\boldsymbol{U}
=
(t_\nu(X_1),\ldots,t_\nu(X_d))^{\top}.
\boldsymbol{U} 服从 C_{\nu,\boldsymbol{P}}^{t} 。
Copula 密度
若 Copula 绝对连续，则
c(\boldsymbol{u})
=
\frac{\partial^d C(\boldsymbol{u})}
{\partial u_1\cdots\partial u_d}.
若联合密度为 f ，边缘密度为 f_i ，且边缘连续严格递增，则
c(\boldsymbol{u})
=
\frac{
f(F_1^{-1}(u_1),\ldots,F_d^{-1}(u_d))
}
{
f_1(F_1^{-1}(u_1))\cdots f_d(F_d^{-1}(u_d))
}.
分母去掉边缘密度的影响，剩下的就是纯粹的相依密度。
生存Copula
用来刻画联合生存函数\boldsymbol{X} 的联合生存函数为 \bar F ，边缘生存函数为
\bar F_i(x_i)=1-F_i(x_i),
\bar F(x_1,\ldots,x_d)
=
\hat C(\bar F_1(x_1),\ldots,\bar F_d(x_d)).
\hat C 称为生存 Copula，用于描述多个变量同时处于上尾区域的概率。
生存 Copula 是 1-\boldsymbol{U} 的分布函数。\boldsymbol{U} 的 Copula 为 C ，则 1-\boldsymbol{U} 的分布函数就是 C 的生存 Copula，二维时有
\hat C(1-u_1,1-u_2)
=
1-u_1-u_2+C(u_1,u_2).
径向对称 Copula 满足生存 Copula 等于原 Copula。
\boldsymbol{U}
\stackrel{d}{=}
\boldsymbol{1}-\boldsymbol{U},
(0.5,\ldots,0.5)^{\top} 径向对称。
可交换性描述变量顺序对 Copula 没有影响。\pi ，
C(u_1,\ldots,u_d)
=
C(u_{\pi(1)},\ldots,u_{\pi(d)}),
t Copula 在等相关矩阵
\boldsymbol{P}
=
\rho\boldsymbol{J}_d+(1-\rho)\boldsymbol{I}_d,
\qquad
\rho\ge -\frac{1}{d-1},
相依性度量
完全相依
包括共单调与反单调两种情况
共单调 X_1,\ldots,X_d 共单调，当且仅当其 Copula 为
M(\boldsymbol{u})
=
\min(u_1,\ldots,u_d).
(X_1,\ldots,X_d)^{\top}
\stackrel{d}{=}
(v_1(Z),\ldots,v_d(Z))^{\top},
v_1,\ldots,v_d 都是递增函数，二维情形可以写成
X_2=T(X_1)\quad a.s.
T 递增0\lt\alpha\lt1 ，且 X_1,\ldots,X_d 共单调，则
F_{X_1+\cdots+X_d}^{\leftarrow}(\alpha)
=
F_1^{\leftarrow}(\alpha)+\cdots+F_d^{\leftarrow}(\alpha).
反单调 X_1,X_2 反单调，当且仅当其 Copula 为
W(u_1,u_2)=\max(u_1+u_2-1,0).
Z ，使得
(X_1,X_2)^{\top}
\stackrel{d}{=}
(v_1(Z),v_2(Z))^{\top},
v_i 递增，另一个递减。X_2 几乎处处是 X_1 的递减函数。
Pearson线性相关系数
定义
\rho(X_1,X_2)
=
\frac{\operatorname{cov}(X_1,X_2)}
{\sqrt{\operatorname{var}(X_1)\operatorname{var}(X_2)}}.
\rho=0 ，但 \rho=0 不推出独立
完全线性相关对应仿射关系|\rho|=1 ，则存在 \alpha\in\mathbb R 和 \beta\ne0 ，使得
X_2=\alpha+\beta X_1\quad a.s.
\beta\gt0 对应完全正线性相关。\beta\lt0 对应完全负线性相关。
正比例尺度变换不变\beta_1,\beta_2\gt0 ，则
\rho(\alpha_1+\beta_1X_1,\alpha_2+\beta_2X_2)
=
\rho(X_1,X_2).
关于Copula
\operatorname{cov}(X_1,X_2)
=
\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}
\left(
F(x_1,x_2)-F_1(x_1)F_2(x_2)
\right)
\,dx_1\,dx_2.
秩相关系数
秩相关只依赖 Copula ，不依赖边缘尺度
Kendall tau
\rho_\tau(X_1,X_2)
=
P\left((X_1-\tilde X_1)(X_2-\tilde X_2)\gt0\right)
-
P\left((X_1-\tilde X_1)(X_2-\tilde X_2)\lt0\right).
\rho_\tau
=
E\left[
\operatorname{sign}
\left(
(X_1-\tilde X_1)(X_2-\tilde X_2)
\right)
\right].
\rho_\tau
=
4\int_0^1\int_0^1
C(u_1,u_2)\,dC(u_1,u_2)-1.
Spearman rho
\rho_S(X_1,X_2)
=
\rho(F_1(X_1),F_2(X_2)).
\rho_S
=
12\int_0^1\int_0^1
\left(C(u_1,u_2)-u_1u_2\right)
\,du_1du_2.
C(u_1,u_2)=u_1u_2 ，因此 \rho_S=0 。但 \rho_S=0 不推出独立。Kendall tau 和 Spearman rho 的极值对应完全相依。[-1,1] 内。取 1 当且仅当共单调。取 -1 当且仅当反单调。
尾部相依系数
定义
上尾相依系数
\lambda_u
=
\lim_{q\to1^-}
P\left(
X_2\gt F_2^{\leftarrow}(q)
\mid
X_1\gt F_1^{\leftarrow}(q)
\right).
\lambda_u
=
\lim_{q\to1^-}
\frac{1-2q+C(q,q)}{1-q}
\lambda_u\in(0,1] ，称为上尾相依。若 \lambda_u=0 ，称为上尾渐近独立。下尾相依系数
\lambda_l
=
\lim_{q\to0^+}
P\left(
X_2\le F_2^{\leftarrow}(q)
\mid
X_1\le F_1^{\leftarrow}(q)
\right).
\lambda_l
=
\lim_{q\to0^+}
\frac{C(q,q)}{q}.
\lambda_l\in(0,1] ，称为下尾相依。若 \lambda_l=0 ，称为下尾渐近独立Gumbel Copula 具有上尾相依。
C_{\theta}^{\mathrm{Gu}}(u,u)
=
u^{2^{\frac{1}{\theta}}}.
\lambda_u
=
2-2^{\frac{1}{\theta}}.
\theta\gt1 时，\lambda_u\gt0 。
高斯 Copula 在非完全相关时上下尾都渐近独立。\rho\lt1 ，则
\lambda
=
2\lim_{x\to-\infty}
\Phi\left(
x\sqrt{\frac{1-\rho}{1+\rho}}
\right)
=
0.
\rho 很高，在足够极端的尾部，高斯 Copula 的共同极端概率仍趋向渐近独立。
t Copula 具有上下尾相依。t Copula 中，若相关参数为 \rho\gt-1 ，则
\lambda
=
2t_{\nu+1}
\left(
-\sqrt{
\frac{(\nu+1)(1-\rho)}{1+\rho}
}
\right).
\nu 越小，尾部越厚，尾部相依越强。t Copula 比高斯 Copula 更容易产生联合极端事件的原因。
改进Copula
正态混合 Copula
定义
正态混合分布具有厚尾和共同波动尺度，因此对应的 Copula 常能描述联合尾部风险
\boldsymbol{X}
=
\boldsymbol{\mu}
+
\sqrt W\boldsymbol{A}\boldsymbol{Z}.
在市场风险和信用风险建模中，正态混合 Copula 比高斯 Copula 更适合刻画共同极端。
t Copula 是最重要的正态方差混合 Copula
尾部相依
以 t Copula为例，二维 t Copula 的尾部相依系数为
\lambda
=
2t_{\nu+1}
\left(
-\sqrt{
\frac{(\nu+1)(1-\rho)}{1+\rho}
}
\right).
\rho\gt-1 时，\lambda\gt0 。\nu 越小，尾部越厚，\lambda 越大。
因此正态混合Copula能表达“市场压力时期多个变量同时极端”的现象。
秩相关
椭圆 Copula 中 Kendall tau 与线性相关参数有简单关系。\rho ，则
\rho_\tau
=
\frac{2}{\pi}\arcsin(\rho).
\rho
=
\sin\left(\frac{\pi}{2}\rho_\tau\right).
t Copula 都成立。
高斯 Copula 中 Spearman rho 也有闭式关系。
\rho_S
=
\frac{6}{\pi}
\arcsin\left(\frac{\rho}{2}\right).
\rho 不太极端时，\rho_S 与 \rho 数值接近。
正态方差混合 Copula 的 Spearman rho 一般依赖混合变量。
\boldsymbol{X}\sim M_2(\boldsymbol{0},\boldsymbol{P},\hat H),
\rho_S
=
\frac{6}{\pi}
E\left[
\arcsin\left(
\frac{\rho W}
{\sqrt{(W+\tilde W)(W+\bar W)}}
\right)
\right].
W,\tilde W,\bar W 相互独立且同分布。\rho ，还取决于混合变量分布。
对 t Copula，Spearman rho 可以用模拟近似。
\rho_S
\approx
\frac{6}{m\pi}
\sum_{j=1}^{m}
\arcsin\left(
\frac{\rho W_j}
{\sqrt{(W_j+\tilde W_j)(W_j+\bar W_j)}}
\right).
W_j,\tilde W_j,\bar W_j 取自逆 Gamma 混合分布。
偏斜正态混合 Copula
偏斜正态混合 Copula 来自非椭圆对称的正态混合分布。
典型形式为
\boldsymbol{X}
=
\boldsymbol{\mu}
+
W\boldsymbol{\gamma}
+
\sqrt W\boldsymbol{A}\boldsymbol{Z}.
\boldsymbol{\gamma} 控制偏斜方向。当 \boldsymbol{\gamma}\ne\boldsymbol{0} 时，Copula 不再具有椭圆对称性。
偏斜 t Copula 可以由 GH 分布构造。
若
\boldsymbol{X}
\sim
GH_d\left(
-\frac{\nu}{2},\nu,0,
\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma},\boldsymbol{\gamma}
\right),
\nu 、\boldsymbol{P}=\rho(\boldsymbol{\Sigma}) 和偏斜参数 \boldsymbol{\gamma} 。
常记为
C_{\nu,\boldsymbol{P},\boldsymbol{\gamma}}^{t}.
偏斜 t Copula 的模拟步骤是：
生成
\boldsymbol{X}
\sim
GH_d\left(
-\frac{\nu}{2},\nu,0,
\boldsymbol{0},\boldsymbol{P},\boldsymbol{\gamma}
\right).
令 F_i 为对应一维边缘分布。
返回
\boldsymbol{U}
=
(F_1(X_1),\ldots,F_d(X_d))^{\top}.
分组 t Copula
分组 t Copula 允许不同变量组具有不同自由度。
普通 t 分布使用一个共同混合变量 W 。
分组 t Copula 将变量划分为不同组，每组使用不同自由度 \nu_k 的混合变量。
不同组可具有不同强度的尾部相依。
分组 t Copula 的模拟思想是：
生成
\boldsymbol{Z}\sim N_d(\boldsymbol{0},\boldsymbol{P}),
\qquad
U\sim U(0,1).
对第 k 组令
W_k=G_{\nu_k}^{-1}(U),
G_\nu 是 \operatorname{Ig}(\nu/2,\nu/2) 的分布函数。
组内变量使用对应的 \sqrt{W_k} 缩放，再做边缘概率变换得到 Copula 样本。
阿基米德 Copula
定义
阿基米德 Copula 用一个单变量生成元构造多元相依结构。\psi:[0,\infty)\to[0,1] 递减、连续，且
\psi(0)=1,
\qquad
\lim_{t\to\infty}\psi(t)=0.
C(u_1,u_2)
=
\psi\left(
\psi^{-1}(u_1)+\psi^{-1}(u_2)
\right).
\psi 凸。
生成元 \psi 决定整个 Copula 族。\psi 把“累积相依尺度”映射回概率尺度。\psi^{-1}(u_i) 把每个边缘概率转换到生成元尺度。
例子1: Gumbel Copula
\begin{aligned}
&C_\theta^{\mathrm{Gu}}(u_1,u_2)
=
e^{-
\left[
(-\ln u_1)^\theta
+
(-\ln u_2)^\theta
\right]^{\frac{1}{\theta}}
},
\qquad
\theta\ge1
\\
&\psi_\theta(t)
=
e^{-t^{\frac{1}{\theta}}},
\qquad t\ge0
\end{aligned}
例子2: 广义 Clayton Copula
\begin{aligned}
&C_{\theta,\delta}^{\mathrm{GC}}(u_1,u_2)
=
\left(
\left(
(u_1^{-\theta}-1)^\delta
+
(u_2^{-\theta}-1)^\delta
\right)^{\frac{1}{\delta}}
+1
\right)^{-\frac{1}{\theta}}
\\
&\psi(t)
=
(1+t^{\frac{1}{\delta}})^{-\frac{1}{\theta}},
\qquad t\ge0
\end{aligned}
例子3: Frank Copula
\begin{aligned}
&C_\theta^{\mathrm{Fr}}(u_1,u_2)
=
-\frac{1}{\theta}
\ln\left(
1+
\frac{(e^{-\theta u_1}-1)(e^{-\theta u_2}-1)}
{e^{-\theta}-1}
\right)
\\
&\psi_\theta(t)
=
-\frac{1}{\theta}
\ln\left(
1-(1-e^{-\theta})e^{-t}
\right),
\qquad \theta\ne0
\end{aligned}
Kendall tau
阿基米德 Copula 的 Kendall tau 可由生成元计算
\rho_\tau
=
1+
4\int_0^1
\frac{\psi^{-1}(t)}
{\frac{d}{dt}\psi^{-1}(t)}
\,dt.
对于Gumbel Copula
\rho_\tau
=
1-\frac{1}{\theta}.
r_\tau 得到
\hat\theta
=
\frac{1}{1-r_\tau}.
\theta\ge1 ，所以对应 r_\tau\ge0
对于Clayton Copula
\rho_\tau
=
\frac{\theta}{\theta+2}.
对于Frank Copula
\rho_\tau
=
1-\frac{4}{\theta}
+
\frac{4}{\theta}D_1(\theta)
尾部相依
阿基米德 Copula 的尾部相依通常可由生成元闭式计算
\begin{aligned}
&
\lambda_u
=
\lim_{t\to0^+}
\frac{
1-2\psi(t)+\psi(2t)
}{
1-\psi(t)
}
\\
&
\lambda_l
=
\lim_{t\to\infty}
\frac{\psi(2t)}{\psi(t)}
\end{aligned}
Gumbel Copula 有上尾相依
\lambda_u
=
2-2^{\frac{1}{\theta}},
\qquad
\lambda_l=0.
Clayton Copula 有下尾相依：
\lambda_l
=
2^{-\frac{1}{\theta}},
\qquad
\lambda_u=0.
Frank Copula 通常上下尾都渐近独立。
多维阿基米德Copula
定义
C(\boldsymbol{u})
=
\psi\left(
\psi^{-1}(u_1)+\cdots+\psi^{-1}(u_d)
\right).
\psi 完全单调
(-1)^k
\frac{d^k}{dt^k}\psi(t)\ge0.
C_\theta^{\mathrm{Cl}}(\boldsymbol{u})
=
(u_1^{-\theta}+\cdots+u_d^{-\theta}-d+1)^{-\frac{1}{\theta}},
\qquad \theta\ge0.
\theta=0 为独立极限，\theta 越大，相依越强
完全单调生成元等价于 Laplace-Stieltjes 变换。[0,\infty) 上的分布 G ，使得
\hat G(t)
=
\int_0^\infty e^{-tx}\,dG(x)
=
E(e^{-tX}).
\psi=\hat G ，则 \psi 连续、递减且完全单调。这给出了构造多维阿基米德 Copula 的系统方法
建模限制。
LT-Archimedean Copula
指生成元是 Laplace-Stieltjes 变换的阿基米德 Copula\psi=\hat G 且 G(0)=0 ，
LT-Archimedean Copula 可以通过共同因子模拟。
V\sim G.
Z_i\sim U(0,1)
Y_i=-\ln Z_i
U_i=\psi\left(\frac{Y_i}{V}\right).
\boldsymbol{U}
=
\left(
\psi\left(\frac{Y_1}{V}\right),
\ldots,
\psi\left(\frac{Y_d}{V}\right)
\right)^{\top}
Copula数据拟合
拟合目标
给定独立同分布样本\boldsymbol{X}_1,\ldots,\boldsymbol{X}_n\sim F ，连续边缘下有唯一表示
F(\boldsymbol{x})
=
C(F_1(x_1),\ldots,F_d(x_d)).
数据拟合的目标是估计参数 Copula C_\theta 中的参数 \theta 。
估计 Copula 前，通常需要先处理边缘分布。
Copula 参数估计主要有两类思路。
矩估计 ：利用样本 Kendall tau 或 Spearman rho 与模型参数的理论关系求解。极大似然估计 ：构造 Copula 伪样本后，用 Copula 密度最大化似然。秩相关矩估计更快、更稳健；极大似然通常更有效，但依赖边缘估计和 Copula 密度。
秩相关矩估计
样本 Spearman 相关可由秩计算。
r_{ij}^{S}
=
\frac{12}{n(n^2-1)}
\sum_{t=1}^n
\left(
\operatorname{rank}(X_{t,i})-\frac{n+1}{2}
\right)
\left(
\operatorname{rank}(X_{t,j})-\frac{n+1}{2}
\right).
\operatorname{rank}(X_{t,i}) 是 X_{t,i} 在第 i 个变量样本中的秩。若存在并列观测，通常使用平均秩。
样本 Spearman 矩阵 \boldsymbol{R}^{S} 是半正定矩阵。
样本 Kendall 相关为
r_{ij}^{\tau}
=
\binom n2^{-1}
\sum_{1\le t\lt s\le n}
\operatorname{sign}
\left(
(X_{t,i}-X_{s,i})(X_{t,j}-X_{s,j})
\right).
它比较所有样本对的协同或逆同。
计算量随样本对数量增长，大样本下比 Spearman 更慢。
样本 Kendall 矩阵也具有半正定性质。
秩相关矩估计的一般步骤是：
写出理论秩相关与 Copula 参数的函数关系
\rho_{\mathrm{rank}}=f(\theta).
计算样本秩相关 r_{\mathrm{rank}} 。
解方程
r_{\mathrm{rank}}=f(\hat\theta)
Gumbel Copula 可用 Kendall tau 直接估计。
对 Gumbel Copula，
\rho_\tau
=
1-\frac{1}{\theta}.
因此
\hat\theta
=
(1-r_\tau)^{-1},
\qquad r_\tau\ge0.
高斯 Copula 可用 Spearman rho 快速估计相关矩阵。
Meta-Gaussian Copula 中
\rho_S(X_i,X_j)
=
\frac{6}{\pi}
\arcsin\left(\frac{\rho_{ij}}{2}\right).
因此可反解为
\rho_{ij}
=
2\sin\left(\frac{\pi}{6}\rho_S(X_i,X_j)\right).
当相关不极端时，\rho_S 与 \rho_{ij} 接近。
t Copula 更适合用 Kendall tau 估计相关参数。
对椭圆 Copula，
\rho_\tau
=
\frac{2}{\pi}\arcsin(\rho_{ij}).
因此
r_{ij}^{*}
=
\sin\left(
\frac{\pi}{2}r_{ij}^{\tau}
\right).
逐元素转换得到的矩阵 \boldsymbol{R}^{*} 不一定正定，因此需要修正。
相关矩阵的特征值修正方法是：
对伪相关矩阵做谱分解
\boldsymbol{R}^{*}
=
\boldsymbol{G}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{G}^{\top}.
将负特征值替换为小正数 \delta\gt0 ，得到 \tilde{\boldsymbol{\Lambda}} 。
令
\boldsymbol{Q}
=
\boldsymbol{G}\tilde{\boldsymbol{\Lambda}}\boldsymbol{G}^{\top}.
最后标准化为相关矩阵
\boldsymbol{R}
=
\rho(\boldsymbol{Q}).
极大似然估计
伪样本
给定边缘估计 \hat F_i ，伪样本定义为
\hat{\boldsymbol{U}}_t
=
(\hat F_1(X_{t,1}),\ldots,\hat F_d(X_{t,d}))^{\top}.
非参数边缘估计常用经验分布函数。
F_{i,n}^{*}(x)
=
\frac{1}{n+1}
\sum_{t=1}^{n}
1(X_{t,i}\le x).
n+1 ，不是 n ，这样伪观测严格落在 (0,1) 内，避免 Copula 密度在边界处出现问题。
无重复观测时，经验伪样本可以写成秩形式。
\hat U_{t,i}
=
\frac{\operatorname{rank}(X_{t,i})}{n+1}.
[0,1]^d 上拟合 Copula
此外，边缘估计可分为参数化、非参数和半参数方法。t 、GH、NIG、对数正态、Pareto 等。
给定伪样本 \hat{\boldsymbol{U}}_1,\ldots,\hat{\boldsymbol{U}}_n ，Copula 对数似然为
\ell(\theta)
=
\ln L(\theta;\hat{\boldsymbol{U}}_1,\ldots,\hat{\boldsymbol{U}}_n)
=
\sum_{t=1}^{n}
\ln c_\theta(\hat{\boldsymbol{U}}_t).
c_\theta 是参数 Copula 的密度。极大似然估计为
\hat\theta
=
\arg\max_\theta \ell(\theta).
Copula 似然依赖边缘估计。
如果伪样本来自参数化边缘估计，得到的是 IFM 思路下的两阶段估计。
如果伪样本来自经验边缘，再最大化 Copula 似然，称为半参数伪极大似然。
边缘估计越差，Copula 参数估计越容易偏。
高斯 Copula 的似然可以通过正态分位数转换写出。
令
Y_{t,j}
=
\Phi^{-1}(\hat U_{t,j}).
高斯 Copula 对数似然为
\sum_{t=1}^{n}\ln f_{\boldsymbol{P}}(\boldsymbol{Y}_t)
-
\sum_{t=1}^{n}\sum_{j=1}^{d}\ln \phi(Y_{t,j}),
f_{\boldsymbol{P}} 为 N_d(\boldsymbol{0},\boldsymbol{P}) 的密度，\phi 为一维标准正态密度。
第二项与 \boldsymbol{P} 无关，因此优化重点在第一项。
高斯 Copula 的相关矩阵估计可写为
\hat{\boldsymbol{P}}
=
\arg\max_{\boldsymbol{\Sigma}\in\mathcal P}
\sum_{t=1}^{n}\ln f_{\boldsymbol{\Sigma}}(\boldsymbol{Y}_t).
若暂时放宽为所有协方差矩阵，解析形式为
\hat{\boldsymbol{\Sigma}}
=
\frac{1}{n}
\sum_{t=1}^{n}
\boldsymbol{Y}_t\boldsymbol{Y}_t^{\top}.
实务中常取
\hat{\boldsymbol{P}}
=
\rho(\hat{\boldsymbol{\Sigma}}).
t Copula 的对数似然为
\sum_{t=1}^{n}
\ln g_{\nu,\boldsymbol{P}}
\left(
t_\nu^{-1}(\hat U_{t,1}),\ldots,t_\nu^{-1}(\hat U_{t,d})
\right)
-
\sum_{t=1}^{n}\sum_{j=1}^{d}
\ln g_\nu
\left(
t_\nu^{-1}(\hat U_{t,j})
\right).
g_{\nu,\boldsymbol{P}} 是 t_d(\nu,\boldsymbol{0},\boldsymbol{P}) 的联合密度。g_\nu 是一维 t_\nu 密度。t_\nu^{-1} 是一维 t_\nu 分位数函数。
高维 t Copula 通常分两步估计。
先用 Kendall tau 估计相关矩阵 \boldsymbol{P} 。
再在给定 \boldsymbol{P} 的基础上，用极大似然估计自由度 \nu 。
这样避免在高维情形下同时搜索大量相关矩阵参数和自由度参数。
市场风险
风险因子映射
损失与估计
损失算子
估值映射
\boldsymbol{Z}_t
=
(z_{t,1},\ldots,z_{t,d})^{\top}.
V_t
=
g(\tau_t,\boldsymbol{Z}_t),
\qquad
g:\mathbb R_+\times\mathbb R^d\to\mathbb R.
损失分布
\boldsymbol{X}_t
=
\boldsymbol{Z}_t-\boldsymbol{Z}_{t-1}.
L_{t+1}
=
-
\left\{
g(\tau_{t+1},\boldsymbol{Z}_t+\boldsymbol{X}_{t+1})
-
g(\tau_t,\boldsymbol{Z}_t)
\right\}.
t ，当前风险因子水平 \boldsymbol{Z}_t 已知，未来不确定性来自 \boldsymbol{X}_{t+1} 损失算子 t 的损失算子定义为
l_{[t]}(\boldsymbol{X})
=
-
\left\{
g(\tau_{t+1},\boldsymbol{Z}_t+\boldsymbol{X})
-
g(\tau_t,\boldsymbol{Z}_t)
\right\},
\qquad
\boldsymbol{X}\in\mathbb R^d.
L_{t+1}
=
l_{[t]}(\boldsymbol{X}_{t+1}).
\boldsymbol{X}_{t+1} 的分布，再通过 l_{[t]} 得到 L_{t+1} 的分布。
损失近似
Delta 近似
g(\tau_t+\Delta t,\boldsymbol{Z}_t+\boldsymbol{X})
\approx
g(\tau_t,\boldsymbol{Z}_t)
+
g_\tau(\tau_t,\boldsymbol{Z}_t)\Delta t
+
\sum_{i=1}^{d}g_{z_i}(\tau_t,\boldsymbol{Z}_t)x_i.
l_{[t]}^\Delta(\boldsymbol{X})
=
-
\left(
g_\tau(\tau_t,\boldsymbol{Z}_t)\Delta t
+
\sum_{i=1}^{d}
g_{z_i}(\tau_t,\boldsymbol{Z}_t)x_i
\right)
g_\tau=\frac{\partial g}{\partial \tau},g_{z_i}=\frac{\partial g}{\partial z_{t,i}} ，定义局部一阶敏感度\boldsymbol{\delta}
\boldsymbol{\delta}(\tau_t,\boldsymbol{Z}_t)
=
\big(
g_{z_1}(\tau_t,{z}_{t,1}),
\ldots,
g_{z_d}(\tau_t,{z}_{t,d})
\big)^{\top}.
l_{[t]}^\Delta(\boldsymbol{X})
=-(g_\tau\Delta t+\boldsymbol{\delta}^{\top}\boldsymbol{X})
Delta-Gamma 近似
\boldsymbol{\omega}
=
(g_{z_1\tau},\ldots,g_{z_d\tau})^{\top}.
\boldsymbol{\Gamma} ，其中
\Gamma_{ij}
=
g_{z_i z_j}.
g(\tau_t+\Delta t,\boldsymbol{Z}_t+\boldsymbol{X})
\approx{}
g(\tau_t,\boldsymbol{Z}_t)
+
g_\tau\Delta t
+
\boldsymbol{\delta}^{\top}\boldsymbol{X}
+
\frac{1}{2}
\left\{
g_{\tau\tau}(\Delta t)^2
+
2\boldsymbol{\omega}^{\top}\boldsymbol{X}\Delta t
+
\boldsymbol{X}^{\top}\boldsymbol{\Gamma}\boldsymbol{X}
\right\}
(\Delta t)^2 与 \boldsymbol{X}\Delta t 等高阶项，得到
l_{[t]}^{\Delta\Gamma}(\boldsymbol{X})
=
-
\left(
g_\tau\Delta t
+
\boldsymbol{\delta}^{\top}\boldsymbol{X}
+
\frac{1}{2}\boldsymbol{X}^{\top}\boldsymbol{\Gamma}\boldsymbol{X}
\right).
是否可以只用 Delta 取决于组合的非线性程度
债券组合
债券组合映射
记零息债券价格为
p(t,T),
t 是估值时刻，T 是到期日，连续复利收益率定义为
y(t,T)
=
-
\frac{1}{T-t}\ln p(t,T).
p(t,T)
=
e^{-(T-t)y(t,T)}.
T\mapsto y(t,T)
债券组合价值映射 d 只零息债券，到期日分别为 T_i ，头寸分别为 \lambda_i ，取各期限收益率构的风险因子向量
z_{t,i}
=
y(\tau_t,T_i)
V_t
=
g(\tau_t,\boldsymbol{Z}_t)
=
\sum_{i=1}^{d}
\lambda_i
e^{-(T_i-\tau_t)z_{t,i}}.
x_{t+1,i}
=
y(\tau_{t+1},T_i)-y(\tau_t,T_i).
\begin{aligned}
&g_\tau
=
\sum_i
\lambda_i p(\tau_t,T_i)z_{t,i}
\\
&g_{z_i}
=
-
\lambda_i(T_i-\tau_t)e^{-(T_i-\tau_t)z_{t,i}}
\end{aligned}
l_{[t]}^\Delta(\boldsymbol{X})
=
-
\sum_i
\lambda_i p(\tau_t,T_i)
\left(
y(\tau_t,T_i)\Delta t
-
(T_i-\tau_t)x_i
\right).
g_{z_i z_i}
=
\lambda_i(T_i-\tau_t)^2e^{-(T_i-\tau_t)z_{t,i}},
\qquad
g_{z_i z_j}=0\quad(i\ne j).
l_{[t]}^{\Delta\Gamma}(\boldsymbol{x})
=
-
\sum_i
\lambda_i p_i
\left(
y_i\Delta t
-
(T_i-\tau_t)x_i
+
\frac{1}{2}(T_i-\tau_t)^2x_i^2
\right).
久期和凸性
久期
y(\tau_{t+1},T_i)
=
y(\tau_t,T_i)+x,
l_{[t]}^\Delta(x)
=
-V_t(A_t\Delta t-D_tx),
D_t
=
\sum_i
\frac{\lambda_i p_i}{V_t}(T_i-\tau_t),
\qquad
A_t
=
\sum_i
\frac{\lambda_i p_i}{V_t}y_i.
D_t 是 Macaulay 久期，若短期内忽略时间项，则
l_{[t]}^\Delta(x)
\approx
V_tD_tx.
凸性
l_{[t]}^{\Delta\Gamma}(x)
=
-V_t
\left(
A_t\Delta t-D_tx+\frac{1}{2}C_tx^2
\right),
C_t
=
\sum_i
\frac{\lambda_i p_i}{V_t}(T_i-\tau_t)^2.
债组合券因子模型
固定收益组合通常需要降维 。Nelson-Siegel 模型用少数因子描述收益率曲线 。
f(t,T)
=
-
\frac{\partial}{\partial T}\ln p(t,T).
y(t,T)
=
\frac{1}{T-t}
\int_t^T f(t,u)\,du.
y(\tau_t,T)
=
z_{t,1}
+
k_1(T-\tau_t,\eta_t)z_{t,2}
+
k_2(T-\tau_t,\eta_t)z_{t,3}.
k_1(s,\eta)
=
\frac{1-e^{-\eta s}}{\eta s},
\qquad
k_2(s,\eta)
=
k_1(s,\eta)-e^{-\eta s}.
z_{t,1} 可解释为水平因子，z_{t,2} 可解释为斜率因子，z_{t,3} 可解释为曲率因子。i 个现金流期限，定义
\boldsymbol{K}_{t,i}
=
\left(
1,\,
k_1(T_i-\tau_t,\eta_t),\,
k_2(T_i-\tau_t,\eta_t)
\right)^{\top}.
V_t
=
g(\tau_t,\boldsymbol{Z}_t)
=
\sum_i
\lambda_i
e^{-(T_i-\tau_t)\boldsymbol{K}_{t,i}^{\top}\boldsymbol{Z}_t}.
主成分分析也可用于收益率曲线降维 \boldsymbol{R}_{t+1} ，PCA 因子模型写为
\boldsymbol{R}_{t+1}
=
\boldsymbol{\mu}
+
\boldsymbol{\Gamma}_1\boldsymbol{X}_{t+1}
+
\boldsymbol{\varepsilon}_{t+1},
\boldsymbol{X}_{t+1} 是少数主成分因子，\boldsymbol{\Gamma}_1 的列为前几个特征向量。
\boldsymbol{R}_{t+1}
\approx
\boldsymbol{\Gamma}_1\boldsymbol{X}_{t+1}.
l_{[t]}^\Delta(\boldsymbol{x})
=
-
\sum_{i=1}^{d}
\lambda_i p(\tau_t,T_i)
\left(
y(\tau_t,T_i)\Delta t
-
(T_i-\tau_t)(\boldsymbol{\Gamma}_1\boldsymbol{x})_i
\right).
市场风险度量
风险估计方法
条件方法
基于当前信息估计下一期损失分布，条件方法估计
F_{\boldsymbol{X}_{t+1}\mid\mathcal F_t},
F_{L_{t+1}\mid\mathcal F_t}(l)
=
P\left(
l_{[t]}(\boldsymbol{X}_{t+1})\le l
\mid
\mathcal F_t
\right).
条件方法能反映近期市场状态，但在平静时期可能低估极端压力情景。
无条件方法
基于较长历史窗口估计平稳分布，无条件方法估计风险因子变化的平稳分布 F_{\boldsymbol{X}} 。然后评估
L=l_{[t]}(\boldsymbol{X})
若风险因子变化 iid，则条件分布和无条件分布相同；但金融数据有波动聚集，通常不能这样简化。
压力 VaR
压力 VaR 使用历史压力期数据估计风险，强调样本窗口来自压力时期。
它不是一种新的损失算子，而是一种样本窗口选择思想。
核心目的是避免仅用近期平静市场数据低估尾部风险。
方差-协方差方法
方法定义
假设下一期风险因子变化条件分布为多元正态：
\boldsymbol{X}_{t+1}
\mid
\mathcal F_t
\sim
N_d(\boldsymbol{\mu}_{t+1},\boldsymbol{\Sigma}_{t+1}).
l_{[t]}^\Delta(\boldsymbol{x})
=
-(c_t+\boldsymbol{b}_t^{\top}\boldsymbol{x}).
L_{t+1}^\Delta
\sim
N\left(
-c_t-\boldsymbol{b}_t^{\top}\boldsymbol{\mu}_{t+1},
\boldsymbol{b}_t^{\top}\boldsymbol{\Sigma}_{t+1}\boldsymbol{b}_t
\right).
得到均值和方差后，可直接套用正态 VaR 和 ES 公式。
参数估计
协方差矩阵可用多元 EWMA 估计。若条件均值近似为零，则
\widehat{\boldsymbol{\Sigma}}_{t+1}
=
\theta
\boldsymbol{X}_t\boldsymbol{X}_t^{\top}
+
(1-\theta)
\widehat{\boldsymbol{\Sigma}}_t.
\widehat{\boldsymbol{\Sigma}}_{t+1}
\approx
\theta
\sum_{i=0}^{n-1}
(1-\theta)^i
\boldsymbol{X}_{t-i}\boldsymbol{X}_{t-i}^{\top}.
若条件均值不近似为零，则使用去均值版本：
\widehat{\boldsymbol{\Sigma}}_{t+1}
=
\theta
(\boldsymbol{X}_t-\widehat{\boldsymbol{\mu}}_t)
(\boldsymbol{X}_t-\widehat{\boldsymbol{\mu}}_t)^{\top}
+
(1-\theta)
\widehat{\boldsymbol{\Sigma}}_t.
优缺点
优点是计算简单、结果解析、易于解释。
缺点是依赖两个强假设：
金融风险因子通常厚尾，且衍生品组合可能非线性很强，因此该方法可能低估尾部风险t 等椭圆分布替代正态分布，若
\boldsymbol{X}_{t+1}
\mid
\mathcal F_t
\sim
t_d(\nu,\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma}),
L_{t+1}^{\Delta}
\sim
t\left(
\nu,
-c_t-\boldsymbol{b}_t^{\top}\boldsymbol{\mu},
\boldsymbol{b}_t^{\top}\boldsymbol{\Sigma}\boldsymbol{b}_t
\right).
历史模拟法
静态历史模拟
历史模拟直接把历史风险因子变化代入当前损失算子，给定历史损失算子 \boldsymbol{X}_{t-n+1},\ldots,\boldsymbol{X}_t ，在时刻 t 构造历史模拟损失：
\widetilde L_s
=
l_{[t]}(\boldsymbol{X}_s),
\qquad
s=t-n+1,\ldots,t.
\widetilde L_s 形成一维损失样本，用来估计损失分布、VaR 和 ES。
历史模拟本质上是无条件方法 优点 缺点
动态历史模拟
把历史模拟改造成条件方法 \boldsymbol{X}_s ，动态历史模拟先去掉历史数据中的动态波动率，再把标准化冲击带入当前市场状态。
一元动态历史模拟
\{
\widetilde L_s
=
l_{[t]}(\boldsymbol{X}_s)
:
s=t-n+1,\ldots,t
\}.
\widetilde L_s
=
\mu_s+\sigma_s Z_s.
\operatorname{VaR}_\alpha^t
=
\mu_{t+1}
+
\sigma_{t+1}q_\alpha(Z),
\operatorname{ES}_\alpha^t
=
\mu_{t+1}
+
\sigma_{t+1}\operatorname{ES}_\alpha(Z).
q_\alpha(Z)
=
\Phi^{-1}(\alpha),
\qquad
ES_\alpha(Z)
=
\frac{\varphi(\Phi^{-1}(\alpha))}{1-\alpha}.
t 分布，则分位数和 ES 需要乘以
\sqrt{\frac{\nu-2}{\nu}}.
\hat Z_s=\frac{\widetilde L_s-\hat\mu_s}{\hat\sigma_s}
\hat\mu_{t+1},\qquad \hat\sigma_{t+1}
\widetilde L_{t+1,s} = \hat\mu_{t+1} + \hat\sigma_{t+1}\hat Z_s
多元动态历史模拟
\boldsymbol{X}_s
=
\boldsymbol{\mu}_s+\boldsymbol{\Delta}_s\boldsymbol{Z}_s,
\boldsymbol{\Delta}_s
=
\operatorname{diag}(\sigma_{s,1},\ldots,\sigma_{s,d}).
\boldsymbol{\mu}_s 与 \boldsymbol{\Delta}_s 都是 \mathcal F_{s-1} 可测的，创新序列满足
(\boldsymbol{Z}_s)
\sim
SWN(\boldsymbol{0},\boldsymbol{P}).
k 个风险因子有
E(X_{s,k}\mid\mathcal F_{s-1})
=
\mu_{s,k},
\operatorname{var}(X_{s,k}\mid\mathcal F_{s-1})
=
\sigma_{s,k}^2.
\widehat{\boldsymbol{Z}}_s
=
\widehat{\boldsymbol{\Delta}}_s^{-1}
(\boldsymbol{X}_s-\widehat{\boldsymbol{\mu}}_s),
\qquad
s=t-n+1,\ldots,t.
\{
\widetilde L_s
=
l_{[t]}
\left(
\widehat{\boldsymbol{\mu}}_{t+1}
+
\widehat{\boldsymbol{\Delta}}_{t+1}
\widehat{\boldsymbol{Z}}_s
\right)
:
s=t-n+1,\ldots,t
\}.
蒙特卡洛方法
步骤
先估计条件分布
\widehat F_{\boldsymbol{X}_{t+1}\mid\mathcal F_t}.
然后生成模拟风险因子变化
\widetilde{\boldsymbol{X}}_{t+1}^{(1)},\ldots,
\widetilde{\boldsymbol{X}}_{t+1}^{(m)}.
对每个情景应用损失算子：
\widetilde L_{t+1}^{(i)}
=
l_{[t]}(\widetilde{\boldsymbol{X}}_{t+1}^{(i)}),
\qquad i=1,\ldots,m.
特点
它不会自动解决模型选择问题。
如果风险因子模型错误，模拟再多也只是在错误分布下提高数值精度。
因此蒙特卡洛质量取决于风险因子时间序列模型、边缘分布和相依结构设定。
优缺点
优势是模拟次数 m 可以很大，估计 VaR 和 ES 的数值误差可小于历史模拟。
成本是每个模拟情景可能都要重估组合，复杂衍生品组合尤其昂贵。
可用 Delta-Gamma 近似、方差缩减和重要性抽样降低计算负担。
风险度量估计
目标
设损失样本为
L_1,\ldots,L_n\sim F_L.
目标是估计
VaR_\alpha
=
q_\alpha(F_L)
=
F_L^{\leftarrow}(\alpha),
ES_\alpha
=
\frac{1}{1-\alpha}
\int_\alpha^1
q_\theta(F_L)\,d\theta.
度量方法
经验 VaR
L_{1,n}\ge L_{2,n}\ge\cdots\ge L_{n,n}.
k=\lfloor n(1-\alpha)\rfloor+1 ，则经验 VaR 可写为
\widehat{VaR}_\alpha
=
L_{k,n}.
经验 ES
\widehat{ES}_\alpha
=
\frac{1}{n(1-\alpha)}
\left(
\sum_{k=1}^{\lfloor n(1-\alpha)\rfloor}L_{k,n}
+
(\lceil n\alpha\rceil-n\alpha)
L_{\lfloor n(1-\alpha)\rfloor+1,n}
\right).
EVT 方法 u=L_{k+1,n} ，并对超过阈值的损失超额拟合 GPD，设 GPD 参数估计为 \hat\xi,\hat\beta ，则
\begin{aligned}
&\widehat{VaR}_\alpha
=
u+
\frac{\hat\beta}{\hat\xi}
\left[
\left(
\frac{1-\alpha}{k/n}
\right)^{-\hat\xi}
-1
\right]
\\
&\widehat{ES}_\alpha
=
\frac{\widehat{VaR}_\alpha}{1-\hat\xi}
+
\frac{\hat\beta-\hat\xi u}{1-\hat\xi}
\end{aligned}
k 的选择：太小估计不稳，太大又会引入非尾部样本。
多期损失
h 期损失定义为
L_{t+h}^{(h)}
=
-(V_{t+h}-V_t).
h 期风险因子累计变化的函数，则
L_{t+h}^{(h)}
=
l_{[t]}^{(h)}
\left(
\sum_{i=1}^{h}\boldsymbol{X}_{t+i}
\right).
h 变化没有简单公式平方根时间缩放
l_{[t]}^\Delta(\boldsymbol{x})
=
\boldsymbol{b}_t^{\top}\boldsymbol{x},
\boldsymbol{X}_{t+i}\sim N_d(\boldsymbol{0},\boldsymbol{\Sigma})
L_{t+h}^{(h)\Delta}
=
\sum_{i=1}^{h}\boldsymbol{b}_t^{\top}\boldsymbol{X}_{t+i}
\sim
N(0,h\boldsymbol{b}_t^{\top}\boldsymbol{\Sigma}\boldsymbol{b}_t).
\sigma^2
=
\boldsymbol{b}_t^{\top}\boldsymbol{\Sigma}\boldsymbol{b}_t.
VaR_\alpha^{(h)}
=
\sqrt h\,
VaR_\alpha^{(1)},
ES_\alpha^{(h)}
=
\sqrt h\,
ES_\alpha^{(1)}.
ES_\alpha^{(h)}
=
\sqrt h\,
\sigma
\frac{\varphi(\Phi^{-1}(\alpha))}{1-\alpha}.
金融数据通常不满足平方根缩放的条件 。h 期路径，再计算 h 期损失样本。
风险量回测
VaR 违约次数检验
VaR 性质 。
违约率 t 的 VaR 估计为 VaR_\alpha^t ，下一期实现损失为 L_{t+1} ，违约指标为
I_{t+1}
=
\mathbf 1_{\{L_{t+1}\gt VaR_\alpha^t\}}.
E(I_{t+1}\mid\mathcal F_t)
=
1-\alpha.
违约序列
I_{t+1}\sim \operatorname{Bernoulli}(1-\alpha).
M
=
\sum_{t=1}^{m}I_{t+1}
\sim
B(m,1-\alpha).
违约次数检验
可用二项检验或 score 检验，实际使用估计 VaR：
\widehat{VaR}_\alpha^t.
\hat I_{t+1}
=
\mathbf 1_{\{L_{t+1}\gt\widehat{VaR}_\alpha^t\}}.
Z_m
=
\frac{
\sum_{t=1}^{m}\hat I_{t+1}
-
m(1-\alpha)
}
{
\sqrt{m\alpha(1-\alpha)}
}.
若 |Z_m| 太大，则说明 VaR 可能系统性偏高或偏低。
违约独立性检验
可用间隔检验，若违约发生在 T_1,\ldots,T_M ，定义间隔
S_j=T_j-T_{j-1}.
P(S_j=k)
=
\alpha^{k-1}(1-\alpha).
若短间隔过多，说明违约成簇，模型没有充分捕捉条件风险变化。
ES 违约残差检验
定义
ES 回测利用 VaR 违约幅度，而不只看是否违约，令
\mu_{t+1}
=
E(L_{t+1}\mid\mathcal F_t).
K_{t+1}
=
\left(
\frac{
L_{t+1}-ES_\alpha^t
}
{
ES_\alpha^t-\mu_{t+1}
}
\right)
\mathbf 1_{\{L_{t+1}\gt VaR_\alpha^t\}}.
若没有 VaR 违约，则残差为 0 ；若发生违约，则残差衡量实际尾部损失相对 ES 的偏离。
违约残差检验
对连续损失分布，有
E(K_{t+1}\mid\mathcal F_t)=0.
(K_t) 构成鞅差分序列。若进一步假设
L_t=\mu_t+\sigma_tZ_t,
Z_t 是严格白噪声，则
ES_\alpha^t
=
\mu_{t+1}
+
\sigma_{t+1}ES_\alpha(Z).
K_{t+1}
=
\left(
\frac{
Z_{t+1}-ES_\alpha(Z)
}
{
ES_\alpha(Z)
}
\right)
\mathbf 1_{\{Z_{t+1}\gt q_\alpha(Z)\}}.
经验违约残差用估计量代入，得到估计量
\hat K_{t+1}
=
\left(
\frac{
L_{t+1}-\widehat{ES}_\alpha^t
}
{
\widehat{ES}_\alpha^t-\hat\mu_{t+1}
}
\right)
\hat I_{t+1}.
0 ，有时直接设 \hat\mu_{t+1}=0 。t 检验，也可用 bootstrap 减少分布假设。
预测分布回测
定义
除了回测 VaR 和 ES，也可以回测整个条件损失分布
若估计分布F_{L_{t+1}\mid\mathcal F_t} ，正确，则概率积分变换
U_{t+1}
=
F_{L_{t+1}\mid\mathcal F_t}(L_{t+1})
检验方式
位置-尺度模型下概率积分变换有明确形式，若
L_t=\mu_t+\sigma_tZ_t,
G_Z ，则
F_{L_{t+1}\mid\mathcal F_t}(l)
=
G_Z
\left(
\frac{l-\mu_{t+1}}{\sigma_{t+1}}
\right).
U_{t+1}
=
G_Z(Z_{t+1}).
G_Z 连续且模型正确，则 U_t 应为 iid U(0,1)
实际回测使用估计分布构造 PIT 序列，计算
\hat U_{t+1}
=
\widehat F_{L_{t+1}\mid\mathcal F_t}(L_{t+1}).
\hat U_t 应近似 iid 均匀。
\Phi^{-1}(\hat U_1),\ldots,\Phi^{-1}(\hat U_n)
可引出性与评分比较
可引出性把风险度量估计看成预测问题 。
若风险度量是分布泛函
\rho(L)=T(F_L),
评分函数衡量预测值 y 和实现损失 l 之间的差异。
可引出的泛函能最小化某个期望评分 。
若存在评分函数 S ，使得
T(F)
=
\arg\min_{y\in\mathbb R}
\int_{\mathbb R}S(y,l)\,dF(l),
T 可引出。
均值可由平方误差引出，中位数可由绝对误差引出。
VaR 可引出，ES 单独一般不可引出 。
对严格递增分布，VaR 对应分位数泛函：
T(F_L)=F_L^{\leftarrow}(\alpha).
一个严格一致评分函数为
S_\alpha^q(y,l)
=
\left|
\mathbf 1_{\{l\le y\}}-\alpha
\right|
|l-y|.
因此不同 VaR 方法可用经验评分比较：
\sum_{t=1}^{m}
S_\alpha^q
\left(
\widehat{VaR}_\alpha^t,
L_{t+1}
\right).
评分越小，条件分位数预测越好。
Expectile 是可引出的风险度量候选 。
Expectile 可由非对称平方损失引出：
S_\alpha(y,l)
=
\left|
\mathbf 1_{\{l\le y\}}-\alpha
\right|
(l-y)^2.
在某些条件下，expectile 同时具备可引出性和 coherent 性质。
这解释了为什么可引出性理论会影响风险度量选择和回测方法设计。