金融随机分析

测度论

可测空间

空间： $X$
- 任意非空集合，例如 $\{0,1,2,\ldots\}$
- 其元素记为 $x$
集合： $A,B,C,\cdots$
- 空间 $X$ 的子集，例如 $\{0,1\},\{2,6,9\},\ldots$
- 空集为 $\varnothing$
集合族： $\mathscr{A},\mathscr{B},\cdots$
- 定义：由 $X$ 的集合构成的集合
- 通常可以写成
  $\mathscr{A}=\{S_d,d\in D\}$
  $D$ 被称为标志集，标志集不一定存在，例如 $\{\{0\},\{0,1\},\{0,1,2\}, \ldots\}$
- 集合序列：标志集为 $\mathbb{N}$ 的集合族， $\left\{S_n, n=1,2, \cdots\right\}$
$\sigma$ 代数： $\mathscr{F}$
- 定义：满足一定条件的集合族
  包含空间： $X\in\mathscr{F}$
  对补集封闭： $A\in\mathscr{F}\Rightarrow A^c\in\mathscr{F}$
  对可数并封闭： $A_1, A_2, \ldots \in \mathscr{F} \Rightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathscr{F}$
- 最小的 $\sigma$ 代数： $\{\varnothing,X\}$
  最大的 $\sigma$ 代数：所有 $X$ 的子集构成的集合，记作 $2^X$
- 原子：两两不交且所有之并为 $X$ ，构成了对 $X$ 的一种划分
  所有原子构成的集合族称为原子族，原子族与 $\mathscr{F}$ 代数一一对应，包含其全部信息，因此可以记作 $\mathrm{At}(\mathscr{F})$
- $\sigma$ 代数的生成：对于定义在 $X$ 上的集合族 $\mathscr{A}$ ， $\sigma(\mathscr{A})$ 表示包含 $\mathscr{A}$ 的最小 $\sigma$ 代数
  这让我们可以根据给定的集合系快速修补出 $\sigma$ 代数
  计算方式：根据 $X$ 和 $\mathscr{A}$ 中元素计算原子族，对原子族生成 $\sigma$ 代数
- 示例： $X=\{1,2,3,4,5\},\mathscr C=\{\{2,3,4\},\{3,4,5\}\}$
  $\mathrm{At}(\sigma(\mathscr C))=\{\{1\},\{2\},\{3,4\},\{5\}\}$
  $\sigma(\mathscr C)=\left\{\bigcup C:C\subseteq \mathrm{At}(\sigma(\mathscr C))\right\}$
可测空间： $(X,\mathscr{F})$
- 其中 $\mathscr{F}$ 是定义在 $X$ 上的 $\sigma$ 代数, $\mathscr{F}$ 中的每个集合称为可测集
- 为什么要求可测空间中的 $\mathscr{F}$ 是 $\sigma$ 代数？为了使得可测空间具有良好性质
- 若 $\mathscr{G}$ 也是 $X$ 上的 $\sigma$ 代数，且 $\mathscr{G}\subseteq \mathscr F$ ，则称 $\mathscr{G}$ 为 $\mathscr{F}$ 上的子 $\sigma$ 代数

概率空间

测度
- 对于可测空间 $(X,\mathscr{F})$ ，若存在函数 $\mu$ ，满足
  $\begin{aligned} &\mu: \mathscr{F}\rightarrow [0,\infty] \\ &\mu(\varnothing)=0 \\ &\mu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \mu\left(A_n\right) \end{aligned}$
  其中 $A_1,A_2,\ldots\in\mathscr{F}$ 且两两不交
  则称 $\mu$ 为测度
- 测度的引入使得我们可以计算可测集的"大小"
从可测空间到测度空间
- 对于可测空间 $(X,\mathscr{F})$ 和测度 $\mu$ ，得到测度空间
  $(X,\mathscr{F},\mu)$
- 对于不同的任务，我们可以构造不同的测度空间
  Lebesgue测度：定义了长度、面积、体积等
  Lebesgue积分：定义了面积、质量、期望等
  函数空间：广泛用于泛函分析、偏微分方程、信号处理和量子力学
从测度空间到概率空间
- 用样本空间 $\Omega$ 代替空间 $X$ ，得到可测空间 $(\Omega,\mathscr{F})$
- 对于可测空间 $(\Omega,\mathscr{F})$ ，定义函数 $\mathbb P$ ，满足
  $\begin{aligned} &\mathbb P: \mathscr{F}\rightarrow [0,1] \\ &\mathbb P(\varnothing)=0,\mathbb P(\Omega)=1 \\ &\mathbb P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \mathbb P\left(A_n\right) \end{aligned}$
  可以发现 $\mathbb P$ 是测度，还满足了额外条件，将其定义为概率
- 由此得到概率空间 $(\Omega,\mathscr{F},\mathbb P)$
  将集合 $A\in\mathscr F, A\subseteq\Omega$ 称为事件，可见事件一定可测
  将元素 $\omega\in\Omega$ 称为样本点
- 考虑概率空间 $(\Omega,\mathscr{F},\mathbb P)$ ，对于事件 $A$ 和非零概率事件 $B$ ，定义条件概率为
  $\mathbb P(A\mid B)=\frac{\mathbb P(A\cap B)}{\mathbb P(B)}$
  或者写成 $\mathbb P_B(A)$ ，可以发现 $\mathbb P_B$ 也是 $(\Omega,\mathscr{F})$ 上的概率测度

概率论

随机变量

可测函数
- 对于可测空间 $(X,\mathscr{F})$ 和 $(Y,\mathscr{G})$ ，若存在函数 $f$ ，满足
  $\begin{aligned} &f:X\rightarrow Y \\ &G\in \mathscr{G}\Rightarrow f^{-1}(G)\in\mathscr{F} \end{aligned}$
  则称 $f$ 为可测函数
- 注意， $f^{-1}$ 表示原像而不是反函数，因为可测函数不一定存在反函数。原像的定义为
  $f^{-1}(G)=\{x\in X: f(x)\in G\}$
Borel空间
- 取实数集 $\mathbb{R}$ 为空间 $X$ ，Borel $\sigma$ 代数为 $\mathscr{F}$ ，得到一个特殊的可测空间
  $(\mathbb{R}, \mathscr{B}_{\mathbb{R}})$
  称为实直线上的Borel可测空间，简称为Borel空间
- Borel集合系 $\mathscr{B}_{\mathbb{R}}$ 是由 $\mathbb{R}$ 中所有开集生成的 $\sigma$ 代数
随机变量
- 对于概率空间 $(\Omega,\mathscr{F},\mathbb P)$ 和Borel空间 $(\mathbb{R}, \mathscr{B}_{\mathbb{R}})$ ，其可测函数 $f$ 称为有限值实值随机变量
- 通常用 $X$ 而不是 $f$ 表示随机变量，这里有一点符号混淆，不要和空间 $X$ 弄混了
  $\begin{aligned} &X:\Omega\to\mathbb R \\ &B\in \mathscr{B}_{\mathbb{R}}\Rightarrow X^{-1}(B)\in\mathscr F \end{aligned}$
- $X$ 是随机变量的充要条件： $X$ 在 $\mathscr{F}$ 的同一个原子中的元素取值相同
随机变量的 $\sigma$ 代数
- 随机变量 $Y$ 的 $\sigma$ 代数 $\sigma(Y)$ 定义为
  $\sigma(Y)=\{Y^{-1}(B):B\in\mathscr B(\mathbb R)\}.$
  或者说， $\sigma(Y)$ 的原子集是同一个值的样本点集合构成的集合系
  $\forall \omega \in A,Y(\omega)\equiv c_A\quad\mathrm{s.t.}\quad A\in\mathrm{At}(\sigma(Y))$
- 例如
  $\begin{aligned} &\Omega=\{1,2,3,4\},Y(1)=Y(2)=0,Y(3)=Y(4)=1 \\ &Y^{-1}(0)=\{1,2\},Y^{-1}(1)=\{3,4\} \end{aligned}$
  因此原子集为 $\{\{1,2\},\{3,4\}\}$ ， $\sigma(Y)=\sigma(\{\{1,2\},\{3,4\}\})=\{\varnothing,\{1,2\},\{3,4\},\Omega\}$
指示随机变量(示性函数)
- 对于事件 $A$ ，定义指示随机变量为
  $\mathbb I_A(\omega) = \begin{cases} 1, & \omega\in A,\\ 0, & \omega\notin A. \end{cases}$
  表示事件 $A$ 发生时取1，其他情况取0的随机变量
- 性质
  指示随机变量的期望
  $\begin{aligned} &\mathbb E(\mathbb I_A)=\mathbb P(A) \\ &\mathbb E(X\mathbb I_A)=\int_\Omega X(\omega)\mathbb I_A(\omega)\mathrm{d}\mathbb P(\omega)=\int_A X(\omega)\mathrm{d}\mathbb P(\omega) \\ &\mathbb E(g(X)\mathbb I_A)=\int_\Omega g(X(\omega))\mathbb I_A(\omega)\mathrm{d}\mathbb P(\omega)=\int_A g(X(\omega))\mathrm{d}\mathbb P(\omega) \end{aligned}$
  随机变量的分解
  $X=\sum_{A\in \mathrm{At}(\sigma(X))}\mathbb c_AI_{A}$

概率结构

背景
- 对于概率空间 $(\Omega,\mathscr{F},\mathbb P)$ 和Borel空间 $(\mathbb{R}, \mathscr{B}_{\mathbb{R}})$ ，我们有概率 $\mathbb P$ 和随机变量 $X$
  $\begin{aligned} &\mathbb P:\mathscr F\to[0,1] \\ &X:\Omega\to \mathbb R \end{aligned}$
- 在此基础上，我们可以定义分布、期望等概率论结构
期望和分布
- 随机变量 $X$ 的期望 $\mathbb E[X]$ 定义为
  $\mathbb E[X]=\int_\Omega X(\omega)\mathrm{d}\mathbb P(\omega)$
- 类似的，可以定义 $\mathbb E[g(X)]$ 为
  $\mathbb E[g(X)]=\int_\Omega g(X(\omega))\mathrm{d}\mathbb P(\omega)$
  选择不同的 $g$ 从而定义矩
- 根据测度的推前，可以化简 $\mathbb E[g(X)]$
  $\mathbb E[g(X)]=\int_{-\infty}^{+\infty} g(x)\mathrm d F_X(x)$
  其中 $F_X(x)=\mathbb P(X\le x)$ ，由此我们由概率 $\mathbb P$ 定义出分布函数 $F_X$
- 根据测度的性质，有
  $F_X(x)=\mathbb P(X\le x)=\mathbb P(\{\omega:X(\omega)\in (-\infty,x]\})=\mathbb P(X^{-1}((-\infty,x]))=\mathbb P_X((-\infty,x])$
  其中 $\mathbb P_X=\mathbb P\circ X^{-1}$ ，定义为随机变量 $X$ 的分布
给定\sigma代数的条件期望和条件分布
- 随机变量 $X$ 关于子 $\sigma$ 代数 $\mathscr G$ 上的条件期望 $\mathbb E[X\mid \mathscr G]$ 定义为
  $\mathbb E[X\mid\mathscr G]=\sum_{A\in\operatorname{At}(\mathscr G)}\mathbb{I}_A\cdot \frac{1}{\mathbb P(A)}\int_A X(\omega)\mathrm{d}\mathbb P(\omega)=\sum_{A\in\operatorname{At}(\mathscr G)}\mathbb{I}_A\cdot\frac{\mathbb E[X\mathbb{I}_A]}{P(A)}$
- 类似的，可以定义 $\mathbb E[g(X)\mid\mathscr G]$ 为
  $\mathbb E[g(X)\mid\mathscr G]=\sum_{A\in\operatorname{At}(\mathscr G)}\mathbb{I}_A\cdot \frac{1}{\mathbb P(A)}\int_A g(X(\omega))\mathrm{d}\mathbb P(\omega)=\sum_{A\in\operatorname{At}(\mathscr G)}\mathbb{I}_A\cdot\frac{\mathbb E[g(X)\mathbb{I}_A]}{P(A)}$
- 根据测度的推前，可以化简 $\mathbb E[g(X)\mid\mathscr G]$
  $\mathbb E[g(X)\mid\mathscr G]=\sum_{A\in\operatorname{At}(\mathscr G)}\mathbb{I}_A\cdot \int_{-\infty}^{+\infty} g(x)\mathrm{d} F_{X\mid A}(x)$
  其中 $F_{X\mid A}(x)=\mathbb P_A(X\le x)$ ，由此我们由条件概率 $\mathbb P_A$ 定义出条件分布函数 $F_{X\mid A}$
- 根据测度的性质，有
  $F_{X\mid A}(x)=\mathbb P(X\le x\mid A)=\mathbb P_A(\{\omega:X(\omega)\in (-\infty,x]\})=\mathbb P_A(X^{-1}((-\infty,x]))=\mathbb P_{X\mid A}((-\infty,x])$
  其中 $\mathbb P_{X\mid A}=\mathbb P_A\circ X^{-1}$ ，定义为随机变量 $X$ 在条件 $A$ 下的条件分布
给定随机变量的条件期望和条件分布
- 随机变量 $X$ 关于随机变量 $Y$ 的条件期望定义为
  $\mathbb E[X\mid Y]=\mathbb E[X\mid\sigma(Y)]$
- 若有 $\mathbb E[X\mid Y]=h(Y)$ ，则定义 $\mathbb E[X\mid Y=y]=h(y)$ ，绝大多数情况下利用 $h$ 函数可以实现两种条件期望的相互推导，一般是后推前

随机过程

基本概念

金融随机分析

随机过程
- 随机过程是定义在同一概率空间上的一族随机变量，通常记为
  $\{X_t,t\in T\} \quad\text{或}\quad \{X_t\}_{t\in T} \quad\text{或}\quad \{X_t\}$
  其中 $T$ 是指标集，例如时间集合
- 若给定概率空间 $(\Omega,\mathscr F,\mathbb P)$ ，随机过程可以形式化地表示为
  $(t,\omega)\mapsto X_t(\omega):T\times\Omega\to S$
  其中 $S$ 为状态空间
- 对于固定的样本点 $\omega\in\Omega$ ，映射
  $t\mapsto X_t(\omega)$
  称为一条样本轨道
- 对于固定的时刻 $t\in T$ ，映射
  $\omega\mapsto X_t(\omega)$
  是一个随机变量
- 若指标集为 $\mathbb N$ 或 $\mathbb Z$ ，又称为随机序列
  $\{X_n,n\in\mathbb N\}$
滤过
- 使用 $\mathscr F_t$ 表示时刻 $t$ 之前已经获得的信息，为了描述信息随时间逐渐增加的过程，引入一族 $\sigma$ 代数
  $\{\mathscr F_t\}_{t\geq 0}$
  若对于任意 $0\leq s\leq t$ ，满足
  $\mathscr F_s\subseteq\mathscr F_t\subseteq\mathscr F$
  则称 $\{\mathscr F_t\}_{t\geq 0}$ 为一个滤过
- 四元组
  $(\Omega,\mathscr F,\{\mathscr F_t\}_{t\geq 0},\mathbb P)$
  称为带滤过的概率空间
- 使用 $\mathscr F_t^X$ 包含随机过程 $\{X_t\}_{t\geq 0}$ 直到时刻 $t$ 所能获得的全部信息，则称
  $\mathscr F_t^X=\sigma(X_s:0\leq s\leq t)$
  为过程 $X$ 的自然滤过
适应过程
- 若对于任意 $t\geq 0$ ，随机变量 $X_t$ 都是 $\mathscr F_t$ 可测的，则称随机过程 $\{X_t\}$ 关于滤过 $\{\mathscr F_t\}$ 是适应的
- 适应性表示 $X_t$ 只能依赖当前及过去的信息，不能依赖未来的信息
- $(X_t,\mathscr F_t)$ 称为适应过程， $X_t$ 称为适应随机过程
可料过程
- 若对于任意 $t\geq 0$ ，随机变量 $X_t$ 都是 $\mathscr F_{t-1}$ 可测的，则称随机过程 $\{X_t\}$ 关于滤过 $\{\mathscr F_t\}$ 是可料的
- 可料性表示 $X_t$ 只能依赖过去的信息，不能依赖当前和未来的信息
- $(X_t,\mathscr F_t)$ 称为可料过程， $X_t$ 称为可料随机过程
鞅过程
- 若适应过程 $(X_n,\mathscr F_n)$ 满足
  $\mathbb E[|X_n|]\lt\infty,\mathbb E[X_{n+1}\mid\mathscr F_n]=X_n$
  则称其为离散时间鞅
- 若适应过程 $(M_n,\mathscr F_n)$ 满足
  $\mathbb E[|M_t|]\lt\infty,\mathbb E[M_t\mid\mathscr F_s]=M_s\quad(t\gt s)$
  则称其为连续时间鞅
- 这表明，对于鞅的条件期望，时间小于等于 $s$ 的部分可以直接移到期望外

鞅的性质

常见鞅
- $X_1,\cdots,X_n,\cdots$ 独立同分布， $S_n=s_0+\sum_{i=1}^n X_i$ ，则可以构造以下鞅
  $S_n-n\mathbb E(X_1)\qquad(S_n-n\mathbb E(X_1))^2-n\mathrm{Var}(X_1)\qquad\frac{e^{\theta S_n}}{\left(\mathbb E\left(e^{\theta X_1}\right)\right)^n}$
- $X_1,\cdots,X_n,\cdots$ 独立同分布， $S_n=S_0\prod_{i=1}^n X_i$ ，则可以构造以下鞅
  $\frac{S_n^\theta}{\left(\mathbb E\left(X_1^\theta\right)\right)^n}\qquad\ln S_n-n\mathbb E(\ln X_1)\qquad(\ln S_n-n\mathbb E(\ln X_1))^2-n\mathrm{Var}(\ln X_1)$
鞅变换
- 对于随机过程 $\{X_n\}$ 和可料过程 $(M_n,\mathscr F_n)$ ，则随机过程
  $(M\cdot X)_n=M_0X_0+\sum_{i=1}^n M_i(X_i-X_{i-1})$
  称为由 $M$ 导出的 $X$ 变化，若 $(X_n,\mathscr F_n)$ 为鞅过程，则称 $M\cdot X$ 为鞅变换
- Doob鞅基本定理：鞅变换仍然是鞅

鞅的停时

停时
- 停止: 根据当前和过去的信息，若满足约定条件，则称为停止，例如
  第一次达到某个阈值
  第二次亏损超过某个界限
  第三次随机过程离开某个区域
- 停时：第一次触发停止的时间，记作 $\tau$ ，是个随机变量
  严格定义：设有滤过 $\{\mathscr F_t\}$ 和扩展非负随机变量 $\tau:\Omega\to[0,\infty]$ ，如果对于任意 $t\ge0$ ，都有
  $\{\tau\le t\}=\tau^{-1}([0,t])=\{\omega\in\Omega:\tau(\omega)\in[0,t]\}\in\mathscr F_t$
  则称 $\tau$ 为关于 $\{\mathscr F_t\}$ 的停时，这个公式唯一表示的是停止规则不能依赖未来信息。若停止规则依赖未来信息则不能称为停时
- 对于样本点 $\omega$ ，其停时 $\tau(\omega)$ 记作
  $\tau(\omega)=\inf\{n\ge0:X_n(\omega)\in A\}$
  其中 $A$ 表示触发停止状态的集合， $\inf$ 表示集合中最小的元素，因此 $\tau(\omega)$ 表示样本 $\omega$ 首次触发停止的时间
- 停时的 $\sigma$ 代数 $\mathscr F_\tau$ 的原子： $\operatorname{At}(\mathscr F_\tau)=\text{所有非空的 }\bigl(C\cap\{\tau=t\}\bigr),\quad C\in\operatorname{At}(\mathscr F_t)$
停止过程
- 对于随机过程 $\{X_t\}$ 和停时 $\tau$ ，定义新过程
  $X_t^\tau=X_{t\wedge\tau}$
  为停止过程，其中 $t\wedge\tau=\min(t,\tau)$
- 停止过程在 $\tau$ 时刻后，其值始终为 $X_{\tau}$ ，对于样本点 $\omega$ ，表现为 $X_{t\wedge\tau}(\omega)\equiv X_{\tau}(\omega)\quad(t\ge\tau)$
- 对于随机序列 $\{X_n\}$ ，适应过程的停止过程仍然适应，鞅过程的停止过程仍然是鞅
可选停时定理
- 对于鞅 $(M_n,\mathscr F_n)$ 和关于 $\mathscr F_n$ 的停时 $\tau$ ，在适当条件下则有
  $\mathbb E[M_\tau]=\mathbb E[M_0]$
- 常用适当条件
  停时有界： $\tau\le N$
  停时过程有界： $|M_{t\wedge\tau}|\le C$
- 这表明如果 $M_n$ 是公平过程，只要停止规则 $\tau$ 不能预知，那么在随机时间 $\tau$ 停止后，平均收益仍不改变

布朗运动

定义
- 随机过程 $\{W_t\}_{t\geq 0}$ 若满足 $W_0=0$ ，样本轨道连续，且对于任意 $0\leq s\lt t$ ，有
  $W_t-W_s\sim N(0,t-s)$
  并且不相交时间区间上的增量相互独立，则称为标准布朗运动。标准布朗运动是一种特殊的鞅
- 标准化后布朗运动
  $Z=\frac{W_t}{\sqrt t}\sim\mathrm N(0,1)$
  标准化后布朗运动既不是鞅页不是标准布朗运动
性质
- 构造鞅
  $W_t,\qquad W_t^2-t,\qquad e^{\theta W_t-\frac{1}{2}\theta^2t}$
- 独立增量
  $\begin{aligned} &\mathbb E[g(W_t-W_s)\mid\mathscr F_s]=\mathbb E[g(W_t-W_s)] \\ &\mathbb E[g(W_t-W_s)h(W_s)\mid\mathscr F_s]=h(W_s)\mathbb E[g(W_t-W_s)] \\ &\mathbb E[g(W_{t+\Delta t}-W_{s+\Delta t})h(W_{s+\Delta t})\mid\mathscr F_s]=\mathbb E(h(W_{s+\Delta t})\mid \mathscr F_s)\mathbb E[g(W_t-W_s)] \end{aligned}$
- 平移不变
  $\{W_{t+a}-W_a\}_{t\geq 0} \text{是标准布朗运动}$
- 马尔科夫性
  独立增量
  $\mathbb E(g(W_{t+\tau}-W_\tau)\mid\mathscr F_\tau)=\mathrm E(g(W_{t+\tau}-W_\tau))$
  平移不变
  $\{W_{t+\tau}-W_\tau\}_{t\geq 0} \text{是标准布朗运动}$
- 期望和矩
  有条件： $0\le s\lt t$
  $\begin{aligned} &\mathbb E[W_t\mid\mathscr F_s]=W_s \\ &\mathbb E[W_t^2-t\mid\mathscr F_s]=W_s^2-s \\ &\mathrm{Var}[W_t\mid\mathscr F_s]=t-s \\ &\mathbb E[e^{\theta W_t-\frac{1}{2}\theta^2 t}\mid\mathscr F_s]=e^{\theta W_s-\frac12\theta^2 s} \end{aligned}$
  无条件：将有条件的 $s$ 换成0即可，此外
  $\begin{aligned} &\mathrm{Cov}(W_s,W_t)=\mathbb E(W_tW_s)=s\wedge t \\ &\mathbb E(e^{a Z}\mathbb I_{\{Z\gt b\}})=e^{\frac{1}{2}a^2}\mathrm N(a-b) \end{aligned}$
首中时
- 定义布朗运动首次达到 $m$ 的时间 $\tau_m$ 为首中时
  $\tau_m=\inf\{t\ge0:W_t=m\}$
- 首中时分布
  $\mathbb P(\tau_m\le t)=2\mathbb P(W_t\ge m)=2\left[1-\Phi\left(\frac{m}{\sqrt t}\right)\right]$
最大值
- 定义布朗运动在 $t$ 时刻前的最大值为最大值分布 $M_t$
  $M_t=\max_{0\le s\le t}W_s$
- 最大值分布的性质
  $\begin{aligned} &M_t\ge W_t\ge 0 \\ &\mathbb P(M_t\ge m)=\mathbb P(\tau_m\le t) \end{aligned}$
GBM模型
- 股价 $S_t$ 服从微分方程
  $dS_t=(r-\delta) S_t\mathrm dt+\sigma S_t\mathrm dW_t$
- 根据Itô公式求 $\mathrm d\ln S_t$ 后再积分，解得 $t$ 时刻股价 $S_t$ 为
  $S_t=S_0e^{\left(r-\delta-\frac{1}{2}\sigma^2\right)t+\sigma W_t}$
  表明 $S_t$ 服从对数正态分布
  $\begin{aligned} &S_t\sim S_0\ln\mathrm N\left(\left(r-\delta-\frac{1}{2}\sigma^2\right)t,\sigma^2 t\right) \\ &\mathbb E(S_t)=S_0e^{(r-\delta)t} \end{aligned}$
- 若 $r\ne\delta$ ，则首中时的停止过程 $S_{t\wedge\tau_K}$ 不是鞅，可选的鞅为
  $M_t=e^{-(r-\delta)t}S_t=S_0e^{-\frac{1}{2}\sigma^2t+\sigma W_t}$
  其停止过程 $M_{t\wedge\tau_K}$ 是鞅
控制收敛定理
- 若 $M_t=g(X_t,t)$ 是鞅， $\tau_m$ 是 $X_t$ 的停时，根据可选停时定理
  $\mathbb E[M_{t\wedge\tau_m}]=\mathbb E[M_{0\wedge\tau_m}]=\mathbb E[M_0]$
- 若满足控制收敛条件，令 $t\rightarrow \infty$ ，则 $t\wedge\tau_m\rightarrow\tau_m,X_{t\wedge\tau_m}\rightarrow m$ ，因此
  $\mathbb E[M_0]=\lim_{t\rightarrow\infty}\mathbb E[M_{t\wedge\tau_m}]=\lim_{t\rightarrow\infty}\mathbb E[g(X_{t\wedge\tau_m},{t\wedge\tau_m})]=\mathbb E[g(m,\tau_m)]$
  从而构建求解 $\mathbb E(\tau_m)$ 的等式。控制收敛条件：存在与 $t$ 无关的函数 $G$ ，使得 $|M_{t\wedge\tau_m}|\lt G$
- 对于GBM，可以证明
  $\mathbb E(e^{-\alpha\tau_m})=e^{-|m|\sqrt{2\alpha}}$
  其中 $\alpha=\frac{1}{2}\sigma^2$

随机积分

随机微分

常微分方程
- 考虑常微分方程
  $\frac{\mathrm dx_t}{\mathrm dt} = b(t,x_t)$
- 使用微分记号，可以写成
  $\mathrm dx_t=b(t,x_t)\mathrm dt$
- 更严格地说，该方程表示积分方程
  $x_t = x_0+ \int_0^tb(s,x_s)\mathrm ds$
随机扰动
- 为了描述随机扰动，可以在常微分方程中加入布朗运动的增量。定义
  $\mathrm dX_t = b(t,X_t)\mathrm dt + \sigma(t,X_t)\mathrm dW_t, \qquad X_0=x_0$
  表示积分方程
  $X_t = x_0 + \int_0^tb(s,X_s)\mathrm ds + \int_0^t\sigma(s,X_s)\mathrm dW_s$
- 第一项为初始值
- 第二项为普通积分，表示确定性趋势
- 第三项为 Itô 积分，表示随机扰动
与常微分方程的差异
- 布朗运动的增量满足
  $W_{t+\Delta t}-W_t \sim N(0,\Delta t)$
- 因此， $\Delta W_t$ 的典型大小为
  $\sqrt{\Delta t}$
  而不是 $\Delta t$
- 布朗运动的样本轨道连续，但几乎处处不可导。因此，表达式
  $\frac{\mathrm dW_t}{\mathrm dt}$
  通常没有普通函数意义
- 为了严格解释随机微分方程，需要定义关于布朗运动的随机积分
  $\int_0^tH_s\mathrm dW_s$

二次变差

时间分割
- 对区间 $[0,t]$ 进行分割
  $\Pi = \{0=t_0\lt t_1\lt\cdots\lt t_n=t\}$
- 分割的最大长度记为
  $|\Pi| = \max_{0\leq i\leq n-1} (t_{i+1}-t_i)$
有限变差过程
- 对于连续过程 $X_t$ ，考虑沿分割的增量绝对值之和
  $\sum_{i=0}^{n-1} |X_{t_{i+1}}-X_{t_i}|$
- 若对于任意 $t\geq 0$ ，
  $\sup_{\Pi} \sum_{i=0}^{n-1} |X_{t_{i+1}}-X_{t_i}| \lt\infty$
  则称 $X_t$ 在 $[0,t]$ 上具有有限变差
- 可微函数以及单调函数都是有限变差函数
- 连续有限变差过程的二次变差为零
二次变差
- 对于连续过程 $X_t$ ，考虑沿分割的增量平方和
  $\sum_{i=0}^{n-1} \left( X_{t_{i+1}}-X_{t_i} \right)^2$
- 当分割逐渐变细时，若上述平方和存在极限，则定义
  $[X]_t = [X,X]_t = \lim_{|\Pi|\to 0} \sum_{i=0}^{n-1} \left( X_{t_{i+1}}-X_{t_i} \right)^2$
- $[X]_t$ 称为过程 $X_t$ 的二次变差
布朗运动的二次变差
- 布朗运动虽然具有无限变差，但具有确定的二次变差
  $[W]_t=t$
- 使用微分记号，可以简写为
  $(\mathrm dW_t)^2=\mathrm dt$
- 该式不是普通代数恒等式，而是布朗运动二次变差的简写
二次协变差
- 为了处理两个过程的乘积，进一步定义连续过程 $X_t$ 与 $Y_t$ 的二次协变差
  $[X,Y]_t = \lim_{|\Pi|\to 0} \sum_{i=0}^{n-1} \left( X_{t_{i+1}}-X_{t_i} \right) \left( Y_{t_{i+1}}-Y_{t_i} \right)$
- 二次变差是二次协变差的特殊情形
  $[X]_t=[X,X]_t$
- 若 $A_t$ 是连续有限变差过程，则
  $[A,X]_t=0$

Itô 积分

简单过程
- 首先考虑分段常数过程
  $H_s = \sum_{i=0}^{n-1} H_{t_i} \mathbf 1_{(t_i,t_{i+1}]}(s)$
- 其中， $H_{t_i}$ 是 $\mathscr F_{t_i}$ 可测的随机变量
- 这意味着在区间 $(t_i,t_{i+1}]$ 上使用的系数，只能依赖时刻 $t_i$ 之前的信息
- 定义简单过程的 Itô 积分为
  $\int_0^tH_s\mathrm dW_s = \sum_{i=0}^{n-1} H_{t_i} \left( W_{t_{i+1}}-W_{t_i} \right)$
一般过程
- 若适应过程 $H_t$ 满足
  $\mathbb E \left[ \int_0^tH_s^2\mathrm ds \right] \lt\infty$
  则可以使用简单过程逼近 $H_t$
- 通过取极限，定义一般的 Itô 积分
  $\int_0^tH_s\mathrm dW_s$
基本性质
- 线性性：
  $\int_0^t (aH_s+bG_s) \mathrm dW_s = a\int_0^tH_s\mathrm dW_s + b\int_0^tG_s\mathrm dW_s$
- 二次变差：
  $\left[ \int_0^\cdot H_s\mathrm dW_s \right]_t = \int_0^tH_s^2\mathrm ds$
- Itô 等距公式：
  $\mathbb E \left[ \left( \int_0^tH_s\mathrm dW_s \right)^2 \right] = \mathbb E \left[ \int_0^tH_s^2\mathrm ds \right]$
- 期望公式：
  $\mathbb E \left[ \int_0^tH_s\mathrm dW_s \right] = 0$
- 方差公式
  $\mathrm{Var} \left( \int_0^tH_s\mathrm dW_s \right) = \mathbb E \left[ \left( \int_0^tH_s\mathrm dW_s \right)^2 \right] = \mathbb E \left[ \int_0^tH_s^2\mathrm ds \right]$
- 协方差公式
  $\mathrm{Cov} \left( \int_0^aH_{s,a}\mathrm dW_s,\int_0^bH_{s,b}\mathrm dW_s \right) = \mathbb E \left[ \int_0^{a\wedge b} H_{s,a}H_{s,b}\mathrm ds \right]$
- 正态性：若 $H_s$ 为确定性函数则积分服从均值为0、方差含 $t$ 的正态分布
微分记号
- 若
  $M_t = \int_0^tH_s\mathrm dW_s$
  则可以简写为
  $\mathrm dM_t=H_t\mathrm dW_t$

Itô 过程

定义
- 若过程 $X_t$ 可以表示为
  $X_t = X_0 + \int_0^ta_s\mathrm ds + \int_0^tb_s\mathrm dW_s$
  则称 $X_t$ 为 Itô 过程
- 其微分形式为
  $\mathrm dX_t = a_t\mathrm dt+b_t\mathrm dW_t$
Itô 微分规则
- 在随机微积分中，通常使用以下简写：
  $(\mathrm dt)^2=0, \qquad \mathrm dt\,\mathrm dW_t=0, \qquad (\mathrm dW_t)^2=\mathrm dt$
- 前两项消失，是因为它们相对于 $\mathrm dt$ 属于更高阶小量
- 第三项保留，是因为布朗运动的增量具有 $\sqrt{\mathrm dt}$ 的数量级
二次变差
- 对于
  $\mathrm dX_t = a_t\mathrm dt+b_t\mathrm dW_t$
  漂移部分属于有限变差过程，不影响二次变差
- 因此
  $\mathrm d[X]_t=b_t^2\mathrm dt$
  并且
  $[X]_t = \int_0^tb_s^2\mathrm ds$
二次协变差
- 若
  $\begin{aligned} \mathrm dX_t &= a_t\mathrm dt+b_t\mathrm dW_t \\ \mathrm dY_t &= c_t\mathrm dt+e_t\mathrm dW_t \end{aligned}$
  则
  $\mathrm d[X,Y]_t = b_te_t\mathrm dt$
- 使用 Itô 乘法规则，也可以简写为
  $\mathrm dX_t\,\mathrm dY_t = \mathrm d[X,Y]_t = b_te_t\mathrm dt$

Itô 公式

引入
- 对于普通可微函数，链式法则为
  $\mathrm df(t,x_t) = \frac{\partial f}{\partial t}\mathrm dt + \frac{\partial f}{\partial x}\mathrm dx_t$
- 对于 Itô 过程，由于
  $(\mathrm dW_t)^2=\mathrm dt$
  二阶项不能忽略
- 因此，普通链式法则需要修改
一维 Itô 公式
- 设
  $\mathrm dX_t = a_t\mathrm dt+b_t\mathrm dW_t$
  且 $f(t,x)$ 具有足够光滑性，则
  $\begin{aligned} \mathrm df(t,X_t) &= \left( \frac{\partial f}{\partial t} + a_t\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{2} b_t^2 \frac{\partial^2f}{\partial x^2} \right) \mathrm dt \\ &\quad+ b_t \frac{\partial f}{\partial x} \mathrm dW_t \end{aligned}$
简写形式
- 由于
  $(\mathrm dX_t)^2 = b_t^2\mathrm dt$
  Itô 公式也可以写成
  $\mathrm df(t,X_t) = \frac{\partial f}{\partial t}\mathrm dt + \frac{\partial f}{\partial x}\mathrm dX_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2f}{\partial x^2} (\mathrm dX_t)^2$
平方公式
- 取 $f(x)=x^2$ ，得到
  $\mathrm d(X_t^2) = 2X_t\mathrm dX_t + (\mathrm dX_t)^2$
- 若
  $\mathrm dX_t = a_t\mathrm dt+b_t\mathrm dW_t$
  则
  $\mathrm d(X_t^2) = (2X_ta_t+b_t^2)\mathrm dt + 2X_tb_t\mathrm dW_t$
平方根型随机微分方程
- 基本形式
  一类常见的随机微分方程为
  $\mathrm dY_t = (a-bY_t)\mathrm dt + c\sqrt{Y_t}\mathrm dW_t$
  由于扩散系数中含有 $\sqrt{Y_t}$ ，通常需要讨论解的非负性
- 平方构造
  当方程中同时出现 $Y_t$ 与 $\sqrt{Y_t}$ 时，可以尝试构造
  $Y_t=X_t^2$
  根据平方公式，
  $\mathrm d(X_t^2) = 2X_t\mathrm dX_t + (\mathrm dX_t)^2$
  通过选择适当的 $X_t$ ，可以使平方后的漂移项和扩散项与目标方程匹配
- 布朗运动的变换
  若 $X_t$ 为适应过程，可以定义
  $W_t = \int_0^t \operatorname{sgn}(X_s) \mathrm dB_s$
  在适当条件下， $W_t$ 仍然是布朗运动，并且
  $X_t\mathrm dB_t = |X_t|\mathrm dW_t$
  若 $Y_t=X_t^2$ ，则
  $|X_t|=\sqrt{Y_t}$
  该方法通常用于构造弱解。变换前后的布朗运动一般不是同一个过程

Itô 乘积公式

一般形式
- 对于连续 Itô 过程 $X_t$ 与 $Y_t$ ，
  $\mathrm d(X_tY_t) = X_t\mathrm dY_t + Y_t\mathrm dX_t + \mathrm d[X,Y]_t$
- 与普通乘积公式相比，多出二次协变差项
展开计算
- 若
  $\begin{aligned} \mathrm dX_t &= a_t\mathrm dt+b_t\mathrm dW_t \\ \mathrm dY_t &= c_t\mathrm dt+e_t\mathrm dW_t \end{aligned}$
  则
  $\begin{aligned} \mathrm d[X,Y]_t &= \mathrm dX_t\,\mathrm dY_t \\ &= (a_t\mathrm dt+b_t\mathrm dW_t) (c_t\mathrm dt+e_t\mathrm dW_t) \\ &= b_te_t\mathrm dt \end{aligned}$
确定性函数
- 若 $g(t)$ 为确定性可微函数，则 $g(t)$ 是有限变差过程
- 因此
  $\mathrm d[g,X]_t=0$
  并且
  $\mathrm d(g(t)X_t) = g(t)\mathrm dX_t + X_tg'(t)\mathrm dt$
线性随机微分方程
- 考虑线性随机微分方程
  $\mathrm dX_t = a(t)X_t\mathrm dt + \sigma(t)\mathrm dW_t, \qquad X_0=x_0$
- 定义积分因子
  $I_t = \exp \left( -\int_0^ta(s)\mathrm ds \right)$
- 由于 $I_t$ 是确定性有限变差过程，
  $\mathrm d[I,X]_t=0$
- 使用 Itô 乘积公式：
  $\mathrm d(I_tX_t) = I_t\mathrm dX_t + X_t\mathrm dI_t$
- 整理得到
  $\mathrm d(I_tX_t) = I_t\sigma(t)\mathrm dW_t$
- 两边积分后得到
  $X_t = \exp \left( \int_0^ta(s)\mathrm ds \right) \left[ x_0 + \int_0^t \exp \left( -\int_0^sa(u)\mathrm du \right) \sigma(s)\mathrm dW_s \right]$

矩的计算

一阶矩
- 若随机微分方程已经写成积分形式
  $X_t = X_0 + \int_0^ta_s\mathrm ds + \int_0^tb_s\mathrm dW_s$
  则可以对两边取期望
- 在满足可积条件时，
  $\mathbb E \left[ \int_0^tb_s\mathrm dW_s \right] =0$
- 因此
  $\mathbb E[X_t] = \mathbb E[X_0] + \int_0^t \mathbb E[a_s] \mathrm ds$
二阶矩
- 对 $X_t^2$ 使用 Itô 公式
  $\mathrm d(X_t^2) = 2X_t\mathrm dX_t + (\mathrm dX_t)^2$
- 再对所得等式取期望，可以得到二阶矩
  $\mathbb E[X_t^2]$
  满足的积分方程或微分方程
方差
- 得到一阶矩与二阶矩后，可以使用
  $\operatorname{Var}(X_t) = \mathbb E[X_t^2] - \left( \mathbb E[X_t] \right)^2$
  计算方差