第5讲 均值-方差分析
均值、方差和标准差的数学描述
- 均值
\bar{r}=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N r_i=\mathrm E\left(\tilde r\right)
- 方差
\sigma_r^2=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N\left(r_i-\bar{r}\right)^2= \mathrm E\left(\tilde r-\bar r\right)^2
- 标准差
\sigma_r=\sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N\left(r_i-\bar{r}\right)^2}
- 协方差
\sigma_{x y}=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)= \mathrm E\left(\tilde x-\bar x\right)\left(\tilde y-\bar y\right)
- 相关系数
\rho_{x y}=\frac{\sigma_{x y}}{\sigma_x \sigma_y}
- 这里都假设未来与过去的分布相同
资产组合的均值方差特性
- 一种无风险资产和一种风险资产的组合
- 假设投在无风险资产和风险资产上的财富份额分别为1-w与w
\begin{aligned} & \bar{r}_p=E\left[(1-w) r_f+w \tilde r_s\right]=(1-w) r_f+w \bar{r}_s=r_f+w\left(\bar{r}_s-r_f\right) \\ & \sigma_p^2=E\left[(1-w) r_f+w \tilde r_s-(1-w) r_f-w \bar{r}_s\right]^2=E\left[w^2\left(\tilde r_s-\bar{r}_s\right)^2\right]=w^2\sigma_s^2\end{aligned}
- 消去w得到关于\bar{r}_p和\sigma_p的方程
\bar{r}_p=r_f+\frac{\bar{r}_s-r_f}{\sigma_s} \sigma_p
- 两种风险资产的组合
\begin{cases}
w_1+w_2=1
\\
\bar r=w_1 \bar r_1+w_2 \bar r_2
\\
\sigma^2=w_1^2 \sigma_1^2+w_2^2 \sigma_2^2+2w_1w_2 \sigma_{12}
\end{cases}
- 最小方差组合: 使得方差最小
\begin{align}
&w_1^\ast=\frac{\sigma_2^2-\sigma_{12}}{\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\sigma_{12}}
\\
&w_2^\ast=\frac{\sigma_1^2-\sigma_{12}}{\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\sigma_{12}}
\\
&\bar r^\ast=\frac{\sigma_1^2\bar r_2+\sigma_2^2\bar r_1-\sigma_{12}(\bar r_1+\bar r_2)}{\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\sigma_{12}}
\end{align}
- 市场组合: 是有效前沿与经过无风险利率射线的切点
\begin{align}
&w_1^\ast=\frac{\sigma_2^2(\bar r_1-r_f)-\sigma_{12}(\bar r_2-r_f)}{\sigma_1^2(\bar r_2-r_f)+\sigma_2^2(\bar r_1-r_f)-\sigma_{12}(\bar r_1+\bar r_2-2r_f)}
\\
&w_2^\ast=\frac{\sigma_1^2(\bar r_2-r_f)-\sigma_{12}(\bar r_1-r_f)}{\sigma_1^2(\bar r_2-r_f)+\sigma_2^2(\bar r_1-r_f)-\sigma_{12}(\bar r_1+\bar r_2-2r_f)}
\\
&\bar r^\ast=\frac{\sigma_1^2(\bar r_2-r_f)\bar r_2+\sigma_2^2(\bar r_1-r_f)\bar r_1-\sigma_{12}[(\bar r_2-r_f)\bar r_1+(\bar r_1-r_f)\bar r_2]}{\sigma_1^2(\bar r_2-r_f)+\sigma_2^2(\bar r_1-r_f)-\sigma_{12}(\bar r_1+\bar r_2-2r_f)}
\end{align}
- 多种风险资产组合的有效前沿
- 开口向右、上下对称的双曲线。上半边称为投资组合的“有效前沿”
- 最小方差组合
\min_{w_1,\cdots,w_n} \sum_{i=1}^n w_i^2\sigma_i^2 \quad\mathrm{s.t.}\quad\begin{cases}
\sum_{i=1}^n w_i=1
\\
\sum_{i=1}^n w_i \bar r_i=\bar r
\end{cases}
- 共同基金定理
- 存在无风险资产时: 偏好只影响无风险资产和市场组合之间的配置权重，不影响市场组合的构成。投资经理基于各种风险资产的收益风险特性，构建出“市场组合”，再根据客户的偏好，将客户的资产在无风险资产和市场组合之间做配置
- 不存在无风险资产时: 任何有效前沿上的组合均可以由两个处在有效前沿上的组合得到。投资者要做的，只是找到两个处在有效前沿上的投资组合，然后按
照自己的风险偏好在这两者之间做配置即可